Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов

3.2. Гипергеометрическое уравнение или уравнение Гаусса.
Гипергеометрическим уравнением (или уравнением Гаусса) называется уравнение вида
(3.2)
где α, β, γ — действительные числа.
Точки являются особыми точками уравнения. Обе они регулярные, так как в окрестности этих точек коэффициенты уравнения Гаусса, записанного в нормальной форме
можно представить в виде обобщенного степенного ряда.
Убедимся в этом для точки . Действительно, замечая, что
уравнение (3.2) можно записать в виде
Это уравнение является частным случаем уравнения
причем здесь , так что точка х=0 есть регулярная особая точка уравнения Гаусса.
Построим фундаментальную систему решений уравнения Гаусса в окрестности особой точки х=0.
Определяющее уравнение, соответствующее точке х=0, имеет вид
Его корни , причем их разность не является целым числом.
Поэтому в окрестностях особой точки х=0 можно построить фундаментальную систему решений в виде обобщенных степенных рядов
первый из которых соответствует нулевому корню определяющего уравнения и является обычным степенным рядом, так что решение голоморфно в окрестности особой точки х=0. Второе решение заведомо неголоморфно в точке х=0. Построим сначала частное решение, соответствующее нулевому корню определяющего уравнения.
Итак, будем искать частное решение уравнения (3.2) в виде
(3.3)
Подставим (3.3) в (3.2), получим
Приравнивая к нулю свободный член, получаем .
Пусть , тогда получаем .
Приравнивая нулю коэффициент при , найдем:
откуда
или
так что
Отсюда:
Следовательно, искомое частное решение имеет вид:
Ряд справа называется гипергеометрическим рядом, так как при α=1, β=γ он превращается в геометрическую прогрессию
(3.5)
Согласно теореме_2 ряд (3.4) сходится при |x|<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).
Второе частное решение имеет вид:
Вместо того, чтобы находить методом неопределенных коэффициентов, сделаем в уравнении Гаусса замену искомой функции по формуле
(3.6)
Получим уравнение Гаусса
(3.7)
в котором роль параметров α, β и γ играют и .
Поэтому, построив частное решение этого уравнения, соответствующее нулевому корню определяющего уравнения и подставив его в (3.6), получим второе частное решение данного уравнения Гаусса в виде:
(3.8)
Общим решением уравнения Гаусса (3.2) будет:
Пользуясь построенной фундаментальной системой решений уравнения Гаусса в окрестности особой точки х=0, можно легко построить фундаментальную систему решений этого уравнения и в окрестности особой точки х=1, которая тоже является регулярной особой точкой.
С этой целью переведем интересующую нас особую точку х = 1 в точку t = 0 и вместе с ней особую точку x = 0 в точку t = 1 при помощи линейной замены независимой переменной x = 1 – t.
Выполняя эту подстановку в данном уравнении Гаусса, получим
Это — уравнение Гаусса с параметрами . Оно имеет в окрестности |t|<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений
Возвращаясь к переменной х, т. е. полагая t = 1 – х, получим фундаментальную систему решений исходного уравнения Гаусса в окрестности точки | х – 1| < 1 особой точки х = 1
Общим решением уравнения Гаусса (3.2) в области будет

4.