Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari
y=xm (x>0) darajali funksiyaning hosilasi. Bu funksiyaning x nuqtadagi orttirmasi Dy=(x+Dx)m-xm=xm(( )m-1) ga teng va bo`ladi. Ma`lumki, . Shuning uchun . Bundan funksiyaning x nuqtadagi hosilasi mavjud va y`=mxm-1 bo`ladi.
Demak, (xm)`=mxm-1 va d(xm)=mxm-1dx formulalar o`rinli.
Murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash va differensiali formulalarini foydalangan holda, (u(x))m ko`rinishdagi murakkab funksiya uchun quyidagi formulalarni yozish mumkin:
((u(x))m)`=m(u(x))m-1×u`(x), d((u(x))m)= m(u(x))m-1×u`(x)dx.
Masalan y=(x2+1)3 funksiyaning hosilasini topish talab qilinsin. Bu misolda u(x)=(x2+1), m=3. Demak, yuqoridagi formulaga ko`ra
y`=3(x2+1)2×((x2+1)`=3((x2+1)2×2x=6x(x2+1)2 bo`ladi.
Ko`rsatkichli funksiyaning hosilasi. y=ax (a>0, a¹1) ko`rsatkichli funksiya uchun Dy=ax+Dx -ax=ax(aDx-1) va .
Ma`lumki, . Shuning uchun = =axlna mavjud. Demak (ax)`=axlna va d(ax)`=axlnadx, xususan, (ex)`=ex va d(ex)`=exdx formulalar o`rinli ekan.
Ko`rinib turibdiki, y=ex funksiya ajoyib xossaga ega: uning hosilasi o`ziga teng ekan.
Misol. y=ex funksiya grafigi Oy o`qini qanday burchak ostida kesib o`tadi?
Yechish. Funksiya grafigi Oy o`qini (0;1) nuqtada kesib o`tadi. Funksiya grafigiga shu nuqtasida o`tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini topamiz: y`=ex va y`(0)=e0=1, bundan esa urinmaning Ox o`qi bilan kattaligi p/4 ga teng bo`lgan burchak tashkil qilishi kelib chiqadi. U holda urinma Oy o`qi bilan ham kattaligi p/4 ga teng bo`lgan burchak tashkil qiladi.
1-rasmda y=ex funksiya grafigi berilgan, bunda funksiya grafigi 10-rasm
x=0 nuqta atrofida y=x-1 to`g`ri chiziqqa urinadi.
Yuqoridagi misolda olingan natija e soniga quyidagicha ta`rif berishga imkon beradi: e soni deb ordinata o`qini p/4 burchak ostida kesib o`tuvchi ko`rsatkichli funksiyaning asosiga aytiladi.
au(x) (a>0, a¹1) funksiya uchun quyidagi formulalarning o`rinli bo`lishini ko`rish qiyin emas: (au(x))`= au(x)×u`(x)×lna, d(au(x))= au(x)×u`(x)×lna×dx.
Masalan, (35x-3)`=35x-3×(5x-3)`×ln3=5×35x-3×ln3.
Do'stlaringiz bilan baham: |
