Теорема Душа Чигера и Громолла Принцип Доказательство и разъяснение фразы

Corollary;Let M be a complete noncompact n-dimensional Riemannian manifold with sectional curvature K>0.Then the soul of M is a point and M is diffeomorphic to

Источники.

Громолл, Детлеф;Мейер, Вольфганг (1969).«О полных открытых многообразиях положительной кривизны».Анналы математики.Вторая серия
Чигер, Джефф;Громолл, Детлеф(1972).«О структуре полных многообразий неотрицательной кривизны».Анналы математики.Вторая серия

• 
  M, g) denotes a Riemannian or pseudo-Riemannian manifold.
  
• 
  TM is the tangent bundle of M.
  
• 
  g is the Riemannian or pseudo-Riemannian metric of M.
  
• 
  X, Y, Z are smooth vector fields on M, i. e. smooth sections of TM.
  
• 
  [X, Y] is the Lie bracket of X and Y. It is again a smooth vector field.
  

The metric g can take up to two vectors or vector fields X, Y as arguments. In the former case the output is a number, the (pseudo-)inner product of X and Y. In the latter case, the inner product of X_p, Y_p is taken at all points p on the manifold so that g(X, Y) defines a smooth function on M. Vector fields act (by definition) as differential operators on smooth functions. In local coordinates (x1,,,,,,xn), the action reads

An affine connection ∇ is called a Levi-Civita connection if

1. 
   it preserves the metric, i.e., ∇g = 0.
   
2. 
   it is torsion-free, i.e., for any vector fields X and Y we have ∇_XY − ∇_YX = [X, Y], where [X, Y] is the Lie bracket of the vector fields X and Y.