Учебное пособие. М.: «Архитектура С»

                     
 
 
 
 
x
0
 
t
0 
 
t 
t
m
=T 
t
j+1
 
t
j
 
x 
x
n
 
x
i+1
 
x
i-1
  x
i
 
u
i,j
 
l 
0 
G 
h 
τ 
j-й слой 
0-й слой 

20.01.2013 
192 
Узлы, имеющие одинаковую временную 
координату                 , называют слоями 
по времени. 
Решение ищется последовательно по 
временным слоям начиная от слоя 
j=1
 
и 
далее до слоя 
j=m
 
включительно. 
Для разностной аппроксимации 
уравнения теплопроводности можно 
использовать четырехточечные 
шаблоны двух типов: 
 
)
(
const
j


20.01.2013 
193 
 
 
 
 
 
 
явная схема  
 
неявная схема 
В 
явной схеме 
производная   
аппроксимируется с использованием 
известных значений сеточной функции 
на  
j
-
м временном слое, а в 
неявной 
схеме
 - 
с использованием неизвестных 
значений функции на ( 
j + 1
)-
м слое. 
u 
i,j
 
u 
i-1,j
 
u 
i,j+1 
(i, j + 1) 
(i, j) 
(i - 1, j) 
(i + 1, j) 
u
 i+1,j
 
u 
i,j+1
 
u 
i-1,j+1
 
u 
i,j 
(i, j ) 
(i, j+1) 
(i - 1, j+1) 
(i + 1, j+1) 
u
 i+1,j+1
 
2
2
/ x
u



20.01.2013 
194 
Явная разностная схема запишется 
 
 
 
Из этого соотношения следует, что 
искомое значение  
u
i,j+1
 
определяется 
явным образом через известные 
значения на  
j
-
м слое по соотношению 
 
 
где параметр   
 
 
).
,
(
2
2
2
,
1
,
,
1
,
1
,
h
O
h
u
u
u
u
u
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i










),
(
)
2
1
(
,
1
,
1
,
1
,
j
i
j
i
j
i
j
i
u
u
u
u









.
2
h



(1) 

20.01.2013 
195 
Из шаблона неявной разностной схемы 
имеем 
 
 
или 
 
 
Здесь значения  
u
i,j
  
для  
j
-
го слоя 
являются известными. 
 
 
)
,
(
2
2
2
1
,
1
1
,
1
,
1
,
1
,
h
O
h
u
u
u
u
u
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i













.
)
2
1
(
,
1
,
1
1
,
1
,
1
j
i
j
i
j
i
j
i
u
u
u
u













(2) 

20.01.2013 
196 
Соотношение (2), записанное для всех 
внутренних узлов (
 
j + 1
)-
го слоя, 
порождает систему линейных 
алгебраических уравнений, с помощью 
которых определяются неизвестные 
значения функции в узлах. Каждое 
уравнение этой системы содержит 
только три неизвестных, т.е. система 
обладает трехдиагональной матрицей 
коэффициентов и ее рационально 
решить либо методом прогонки, либо 
итерационными методами. 
 

20.01.2013 
197 
Алгоритм численного решения задачи 
теплопроводности следующий: 
На нулевом временном слое 
j=0
 
решение известно из начального 
условия 
 
Также известны значения функции в 
левых и правых граничных узлах 
 
 
 
.
,...,
1
,
0
    
),
(
0
,
n
i
x
f
u
i
i


);
(
1
,
0
j
j
t
u


);
(
2
,
j
j
n
t
u



20.01.2013 
198 
На каждом следующем слое искомая 
функция определяется: 
−
 
в 
явной схеме 
непосредственно по 
формуле (1); 
−
 
в 
неявной схеме 
путем решения 
системы из  
n-1
 
уравнения вида (2). 
 
 
 
 

20.01.2013 
199 
Для выполнения расчетов по 
разностным схемам важно такое их 
свойство, как 
устойчивость
. 
Разностная задача будет корректной и 
устойчивой, если ее решение 
незначительно изменяться при малом 
изменении в начальных и граничных 
условиях, и в правых частях уравнений, 
связанных со случайными ошибками 
(ошибки округления). 
В противном случае разностная задача 
является неустойчивой.  
 

20.01.2013 
200 
Неявная схема 
устойчива при любых 
значениях параметра 
λ
. 
Явная схема 
оказывается устойчива  
только при               или              .   Это 
значит, что вычисления в явной схеме 
придется вести с очень малым шагом 
по времени. 
 
 
2
1


2
2
h



20.01.2013 
201 
Очевидно, что число операций, 
необходимых для отыскания решения 
на одном временном слое, в явных 
схемах значительно меньше, чем в 
неявных. Однако, в конечном счете 
качество разностной схемы должно 
оцениваться количеством операций на 
всем временном интервале, поэтому в 
ряде случаев неявные разностные 
схемы могут быть предпочтительнее 
явных. 
 
 

20.01.2013 
202 
 
 
 
 
 
 
 
 
                     
 
начало 
ввод 
l,n,T 
i=0, n 
)
( x
f
u
i

n
l
h

3
2
h


h, τ, λ, m 
2
h




T
m

x=ih 
конец 
i=1, n-1 
u
i
 
   j=0, m-1 
t=(j+1)τ 
)
(
)
(
2
*
1
*
0
t
u
t
u
n




)
(
)
2
1
(
1
1
*







i
i
i
i
u
u
u
u


*
i
i
u
u

i=0, n 
t 

20.01.2013 
203 
Численное решение задачи 
теплопроводности содержит 
погрешность, связанную с 
разностной аппроксимацией 
производных в методе сеток. Эта 
погрешность уменьшается с 
уменьшением шагов сетки по 
координате и времени, но, 
соответственно, увеличивается 
время расчета. 
 
 

20.01.2013 
204 
Проблема собственных 
значений в строительных 
расчетах 

20.01.2013 
205 
Ряд инженерных задач сводится к 
рассмотрению систем линейных 
уравнений, имеющих единственное 
решение лишь в том случае, если 
известно значение некоторого 
входящего в них параметра. Этот 
особый параметр называется 
характеристическим, или 
собственным, значением системы. 
 
 

20.01.2013 
206 
В теории напряженного состояния 
тела, для тензоров напряжений 
собственные значения определяют 
главные нормальные напряжения, а 
собственными векторами задаются 
направления, связанные с этими 
значениями. 
 
 

20.01.2013 
207 
При динамическом анализе 
механических систем собственные 
значения соответствуют 
собственным частотам колебаний, а 
собственные векторы 
характеризуют модули этих 
колебаний. При расчете конструкций 
на прочность собственные значения 
позволяют определить критические 
нагрузки, превышение которых 
приводит к потере устойчивости. 
 

20.01.2013 
208 
Выбор наиболее эффективного 
метода определения собственных 
значений или собственных векторов 
для данной инженерной задачи 
зависит от типа уравнений и числа 
искомых собственных значений. 

20.01.2013 
209 
Алгоритмы решения таких задач 
делятся на две группы: 

Итерационные методы – удобны 
и хорошо приспособлены для 
определения наименьшего и 
наибольшего собственных 
значений.  

Методы преобразования подобия 
– они сложнее, но позволяют 
определить все собственные 
значения и векторы. 
 

20.01.2013 
210 
В общем виде задача на 
собственные значения 
формулируется следующим 
образом 
 
 
 
AX = λX, 
где  
A
 - 
матрица размерности          . 
Требуется найти  
n
  
скалярных 
значений  
λ
  
и собственные векторы 
X
, соответствующие каждому из 
собственных значений. 
 
 
n
n


20.01.2013 
211 
ОСНОВНЫЕ  СВОЙСТВА  
СОБСТВЕННЫХ  ЗНАЧЕНИЙ 
 
 
 
 
1.
Все  
n
  
собственных значений 
симметричной матрицы          , 
состоящей из действительных 
чисел, действительные. 
2.
Если собственные значения 
матрицы различны, то ее 
собственные векторы 
ортогональны. 
 
 
n
n


20.01.2013 
212 
3.
Если две матрицы подобны, то 
их собственные значения 
совпадают. 
4.
Умножив собственный вектор 
матрицы на скаляр, получим 
собственный вектор той же 
матрицы. Обычно собственные 
векторы нормируют, разделив 
каждый элемент собственного 
вектора на его наибольший 
элемент. 
 
 

20.01.2013 
213 
Итерационные методы решения 
 
 
 
 
Рассмотрим итерационный метод на 
примере определения наибольшего 
собственного значения. 
Исследуем трехосное напряженное 
состояние элемента тела. Матрица 
напряжений для него имеет 
следующий вид 
 
 

20.01.2013 
214 
 
 
 
 
 

20.01.2013 
215 
Если исходить из того, что 
разрушение тела произойдет при 
максимальном напряжении, то 
необходимо знать величину 
наибольшего главного напряжения, 
которое соответствует 
наибольшему собственному 
значению матрицы напряжений. 

20.01.2013 
216 
Решение ищется из матричного 
уравнения 
 
 
 
AX = λX 
Процедура начинается с пробного 
нормированного вектора  
X
(0)
. Этот 
вектор умножается слева на 
матрицу  
A
  
и результат 
приравнивается произведению 
постоянной (собственное значение) 
и нормированного вектора  
X
(1)
. 

20.01.2013 
217 
Если вектор 
X
(1)
 
совпадает с вектором 
X
(0)
 
в пределах заданной погрешности 
ε
, 
то счет прекращается. В противном 
случае новый нормированный вектор 
используется в качестве исходного и 
вся процедура повторяется. 
Если процесс сходится, то постоянный 
множитель соответствует истинному 
наибольшему собственному значению, 
а нормированный вектор - 
соответствующему собственному 
вектору.  

20.01.2013 
218 
  
 
Достаточно ли 
мала разность 
│X
(k+1)
 - X
(k)
│ 
Выбор нормированного 
собственного вектора  X
(0) 
, 
k = 0 
Вычисление АX
(k) 
  
и определение X
(k+1)
 
Нормирование X
(k+1) 
и вычисление 

 
k = k + 1 
Нет 
Да 
Начало 
Конец 

20.01.2013 
219 
Данный метод можно использовать 
также для вычисления наименьшего 
собственного значения. 
Если умножить исходную систему 
 
 
 
  
AХ = λХ 
на матрицу  
А
-1
 
, обратную  
A
, получим 
 
А
-1
АX=λА
-1
X
  
или  
1/λХ = A
-1
X
. 
Обозначим  
1/λ = s
, тогда получим 
 
 
 
A
-1
X = sХ
. 

20.01.2013 
220 
Для данной матрицы  
A
-1
  
находим 
наибольшее собственное значение  
s
  
методом итераций. Тогда наименьшее 
собственное значение исходной 
матрицы  
А
  
будет  
λ = 1/s
. 
  

20.01.2013 
221 
Метод конечных 
элементов 

20.01.2013 
222 
Метод конечных элементов (МКЭ) для 
описания сплошных сред впервые был 
применен в середине 50-х годов XX 
столетия и с тех пор завоевал 
известность исключительно полезного 
инженерного метода. Он широко 
применяется в различных областях 
техники. МКЭ – основной численный 
метод для решения на компьютере 
прикладных задач механики сложных 
конструкций. 
  

20.01.2013 
223