V bob predikatlar mantiqi

3- teorema. bajariluvchi formula bo‘lishi uchun ning umumqiymatli formula bo‘lmasligi zarur va yetarlidir.
Isboti. Zarurligi. bajariluvchi formula bo‘lsin. U holda shunday
soha va formula tarkibiga kiruvchi o‘zgaruvchilarning shunday qiymatlar majmui (satri) mavjudki, formula bu qiymatlar satrida chin qiymat qabul qiladi. Ravshanki, o‘zgaruvchilarning bu qiymatlar satrida formula yolg‘on qiymat qabul qiladi va, demak, umumqiymatli formula bo‘la olmaydi.
Yetarliligi. umumqiymatli formula bo‘lmasin. U holda shunday soha va formula tarkibiga kiruvchi o‘zgaruvchilarning shunday qiymatlar satri mavjudki, formula bu qiymatlar satrida yolg‘on qiymat qabul qiladi. Bu qiymatlar satrida formula chin qiymat qabul qilganligi uchun u bajariluvchi formula bo‘ladi. ■
7- misol. formulaning umumqiymatliligini isbotlaymiz. formula istalgan sohada aniqlangan deb hisoblab, quyidagi teng kuchli almashtirishlarni bajaramiz:








,
ya’ni formula istalgan sohada har qanday va bir joyli predikatlar uchun aynan chin, demak, u umumqiymatli formuladir. ■
8- misol. formulaning aynan yolg‘on formula ekanligini ko‘rsatamiz. o‘rinli va formula aynan yolg‘on formula bo‘lgani uchun ham aynan yolg‘on formuladir. ■
M uammoli masala va topshiriqlar

1. 
   Quyidagi ifodalarning qaysilari predikatlar mantiqining formulasi bo‘lishini aniqlang. Har bir formula uchun erkin va bog‘langan o‘zgaruvchilarni aniqlang.
   

a) ; b) ; d) ;
e) ; f) .

2. 
   : « » predikat to‘plamda aniqlangan bo‘lsin. Quyida berilgan predikatlarning qaysilari aynan chin va qaysilari aynan yolg‘onligini aniqlang:
   

a) ; b) ; d) ;
e) f) ; g) ;
h) ; i) ; j) ;
k) ; l) ; m) .

3. 
   Quyidagi teng kuchliliklarning to‘g‘riligini isbot qiling:
   

a) ; b) ;
d) ; e) ;
f) ;
g) ;
h) ;
i) ;
j) ;
k) ;
l) .

4. 
   va ixtiyoriy predikatlar bo‘lsin. Quyida berilgan formulalarning qaysilari formulaga teng kuchli bo‘lishini aniqlang.
   

a) ; b) ; d) ;
e) ; f) ; g) ;
h) .

5. 
   Quyida keltirilgan formulalarning qaysilari umumqiymatli bo‘lishini aniqlang.
   

a) ;
b) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g) ;
h) ;
i) ;
j) ;
k) ;
l) ;
m) ;
n) ;
o) ;
p) ;
q) ;
r) .