Занятие Тригонометрическая форма комплексного числа

Ответ:


Уровень В
1. Найдите результат возведения числа в 98 степень.
Решение. Числа, записанные в тригонометрической форме, можно возводить в степень с помощью формулы Муавра:
.
Представим число в тригонометрической форме:








Уровень С

1. 
   Вычислите: .
   

Решение
Для вычисления корня любой степени можно воспользоваться формулой:

Представим число под знаком корня 4 степени в тригонометрической форме:

, откуда

k=0,1,2,3.

Всего существует 4 различных значения корня 4 степени из данного комплексного числа

При k=0

При k=1

При k=2

При k=3

2. 
   Вычислите все корни 6 степени из единицы
   

Решение
Представим 1 в тригонометрическом виде. Очевидно, что модуль этого числа равен 1, а аргумент – 0. То есть,
.
.
При k=0

При k=1

При k =2

При k =3

При k =4

При k =5

Геометрическая интерпретация: корни 6 степени изображаются точками комплексной плоскости, которые расположены на окружности с центром в начале координат и радиусом 1 и делят эту окружность на 6 равных частей. Первому значению корня, числу 1, соответствует точка с координатами (1,0), расположенная на действительной оси., а остальные точки распложены на окружности друг от друга через дуги в 60 градусов.

3. 
   Вычислите корни 4 степени из числа .
   

Решение. Очевидно, что , поэтому

При k=0 ;

При k=1

При k=2

При k=3

Заметим, что корни, соответствующие k=0 и k=3 являются друг для друга сопряженными, как и корни, соответствующие k=1 и k=2.

Корни 4 степени из числа -16 изображаются точками комплексной плоскости, расположенными на окружности радиуса 2 и делящими её на 4 части (точки отделены друг от друга дугами в 90 градусов)