Fayziyeva mamlakatning

buxoro Davlat universiteti

9-5 BTUS-19 GURUH
Talabasi
FAYZIYEVA MAMLAKATNING
,,BOSHLANG’ICH MATEMATIKA KURSI NAZARIYASI’’
fanidan
MUSTAQIL TA’LIM
ISHI


Buxoro-2022


Matematik isbotlash usuli. To`gri va noto`g`ri muhokamalar, chala va to`la indukatsiyaga oid misollar topish.
Reja:

1. 
   Deduksiya va induksiya
   
2. 
   Matematik induksiya metodi bilan ayniyatlarni isbotlash
   
3. 
   Matematikaning boshqa fanlardan farqi
   
4. 
   Matematik induksiya usuli yordamida ayniyat, tengsizliklarni isbotlash, matematik induksiyani sonlarni bo’linishlariga qo’llash
   

Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati

Kirish
Matematik isbotni bajarish qiyin bo'lishi mumkin, ammo matematikada va dalil formatida kerakli ma'lumotga ega bo'lgan holda uni engib o'tish mumkin. Afsuski, dalillarni qanday yaratishni o'rganish uchun tez yoki oson usul yo'q. Mantiqiy isbotlarni loyihalash uchun tegishli teoremalar va tavsiflarga ega bo'lgan holda, siz ushbu mavzu bo'yicha ishonchli asosga ega bo'lishingiz kerak. Matematik dalillarning namunalarini o'qish va ularni o'zingiz mashq qilish orqali siz matematik dalillarni yozishda ko'nikmalarni rivojlantirasiz.
Geometriya bir vaqtlar barcha matematikaning timsoli edi. Geometriya, har qanday fan kabi, hayotiy ehtiyojlar ta'sirida paydo bo'lgan. Ularni har kuni qondirish zarurati odamni o'rab turgan ob'ektlarning shakli, er tuzish, qurilish ishlari va boshqalar bilan bog'liq hisob-kitoblar haqida bir qator savollarni qo'yadi. kelib chiqish manbai. Bizning eramizdan ikki ming yil oldin Misrda geometrik bilimlarning sezilarli darajada rivojlanishi haqida ishonchli ma'lumotlar mavjud. Cho'l va Nil daryosi orasidagi tor unumdor erlar har yili suv ostida qolar va har safar sel alohida shaxslarga tegishli tomorqa chegaralarini yuvib tashladi. Suvning pasayishidan so'ng, bu chegaralarni maksimal darajada aniqlik bilan tiklash kerak edi, chunki har bir sayt yuqori baholangan. Bu misrliklarni o'lchov, ya'ni yer o'lchash masalalari bilan shug'ullanishga majbur qildi. Bundan tashqari, ular rivojlangan savdo-sotiqni o'tkazdilar va shuning uchun kemalarning sig'imini o'lchash qobiliyatiga muhtoj edilar. Navigatsiya san'ati ularni astronomik ma'lumotlarga olib keldi. Misrliklarning bizning davrimizga qadar saqlanib qolgan ajoyib binolari - piramidalar, ularning qurilishi fazoviy shakllarni bilishni talab qilganligidan dalolat beradi. Bularning barchasi geometriyaning faqat eksperimental kelib chiqishiga ishora qiladi. Ammo matematika, ayniqsa, so'nggi 200 yil ichida tez o'sdi va rivojlandi. Yangi tendentsiyalar paydo bo'ldi: matematik tahlil, to'plamlar nazariyasi, topologiya, algebra butunlay boshqacha ko'rinishni boshladi. Albatta, geometriya ham rivojlangan, ammo ba'zi matematiklar bu erdan boshlangan yaqin vaqtlar uni kichik matematik yo'nalish sifatida tasniflang. Bu fikr AQSHda ham, boshqa qator mamlakatlarda ham matematika boʻyicha maktab dasturlari mazmunida oʻz ifodasini topgan.
Matematikaning boshqa fanlardan farqi shundaki, bu fan o’z nazariyasini deduktiv asosda quradi. Xulosalar ikki turga bo’linaadi: umumiy va xususiy.
Umumiy xulosalardan xususiy xulosa chiqarish deduksiya deyiladi. Deduksiya so’zi o’zbek tilida “xulosa chiqarish” deyiladi.
Fizika, kimyo, biologiya kabi fanlarda kuzatish va tajribalarga suyanib, induktiv mulohazalar yuritish keng qo’llaniladi.
Xususiy xulosalardan umumiy xulosa chiqarish induksiya deyiladi. Induksiya so’zi o’bek tilida “ boshqarib borish” yoki “yetaklab borish” kabi ma’nolarni bildiradi.
Matematikada induktiv fikrlash va mulohazalar yuritish bilan tushunchalar, teoremalar shakllantiriladi, qator hollarda esa isbotlash yo’llari belgilanadi. Intuktiv fikrlash va mulohazalar yuritishda to’g’ri, shuningdek, noto’g’ri xulosalarga kelib qolishimiz mumkin. Buni quyidagi misollardan tushunib olishimiz mumkin.
1-misol. 150 soni 5 ga bo’linadi. 0 bilan tugovchi barcha sonlar 5 ga bo’linadi.
Bu yerda xususiy xulosalardan umumiy xulosa chiqarilgan. Chiqarilgan xulosa to’g’ri.
2-misol. 150 soni 5 ga bo’linadi. Barcha uch xonali sonlar 5 ga bo’linadi.
3-misol. Raqamlarining yig’indisi 3 ga bo’linadigan sonlarning barchasi 3 ga bo’linadi. 3 ga bo’lingan sonlarning barchasi 9 ga ham bo’linadi.
2 va 3- misolda xususiy xulosalardan umumiy xulosa chiqarilgan. Chiqarilgan xulosalar noto’g’ri.
Tekshirish jarayoni bir nechta chekli sondagi xususiy hollarning to’g’riligiga asoslanib , xulosa chiqarish usuli to’liq bo’lmagan induksiya deyiladi.
1-misol. N = {1,2,3…} natural sonlar to’plamida aniqlangan A(1)=19, A(2)=23, A(3)=29 va A(4)=37 sonlari tub sonlardir. Shuning uchun, barcha n N sonlari uchun, A(n)=n2 +n+17 ifodaning qiymati tub son bo’ladi.
Bu yerda to’liqmas induksiya yordamida xulosa chiqariladi. Chiqarilgan bu xulosa noto’g’ridir, chunki A(16)=289=172 soni tub son emas.
2-misol. 2 dan katta bo’lgan dastlabki bir nechta juft sonlarni ikkita tub sonning yig’indisi ko’rinishda tasvirlash mumkin:
4 = 2+2, 6=3+3, 8= 3+5, 10=3+7=5+5, 50=13+37
To’liqsiz induksiya yordamida “2 dan katta bo’lgan har qanday juft sonni ikkita tub sonni yig’indisi ko’rinishda yozish mumkin” degan xulosaga kelamiz. Bu xulosaning to’g’ri yoki noto’g’ri ekanligi hozirgacha isbotlanmagan. Bu muammo L.Eyler, X.Gol’dbax muammosi deb yuritiladi.
Yuqorida biz to’liqsiz induksiya va to’liq induksiya bilan tanishdik. Ularning birinchisini tadbiq etish noto’g’ri xulosaga olib kelishi mumkin, ikkinchisini tadbiq etish esa ko’p hollarda katta qiyinchilik tug’diradi. Shu bois, ularning tadbiq doirasi tordir. Endi tadbiq doirasi birmuncha kengroq bo’lgan va matematik induksiya metodi deb ataluvchi isbotlash usulini qaraymiz.
Barcha xususiy hollarni tahlil qilish orqali mulohaza yuritish usuli to’liq induksiya deyiladi.
3-misol. Dastlabki n ta toq sonlar kvadratlarining yig’indisini topish talab qilinsin. 1,3,5,…, 2n-1 toq sonlar uchun n ning turli 1,2,3,.. qiymatlarida quyidagi yig’indilarni tuzaylik:
n=1 1=1
n=2 1+3=4=22
n=3 1+3+5=9=32
n=4 1+3+5+7=42 … bu xususiy hollarni qaraganimizdan keyin quyidagi umumiy xulosani chiqarish mumkin. “Barcha n natural sonlar uchun
1+3+5+…+(2n-1)=n2

tenglik o’rinli”.

Matematik induksiya aksiomasi: agar natural aon n ga bog’liq bo’lgan A(n) tasdiq n=k0 uchun to’g’ri bo’lsa va A(n) tasdiq n=kda (bu yerda k>k0 uchun to’g’ri ekanligidan uning n=k+1 da ham to’g’ri ekanligi kelib chiqsa, u holda A(n) tasdiq barcha n≥k0 natural sonlar uchun to’g’ri bo’ladi.
Matematik induksiya aksiomasi, natural son n ga bog’liq bo’lgan A(n) tasdiqning barcha natural n larda to’g’ri ekanligini isbotlashning quyidagi usulini beradi.
A(n) tasdiqning n=1 da to’g’riligini ko’rsatamiz (induksiya bazisi)
A(n) tasdiq n=k da to’g’ri deb faraz qilamiz (induksiya farazi)
Qilingan farazdan foydalanib, A(n) tadiq n=k+1 da ham to’g’ri bo’lishligini ko’rsatamiz (induksiya qadami)
A(n) tasdiqning barcha natural n sonlari uchun to’g’ri ekanligini isbotlashning bu usuli matematik induksiya metodi deb ataladi. Bu metodning qo’llanishiga doir misol qaraymiz.
4-misol. n ning barcha natural qiymatlarida n3+11 n ifodaning qiymati 6 ga bo’linishini isbotlaymiz.
Isbot. Matematik induksiya metodini qo’llaymiz. N=1 bo’lsin. U holda, n3+11n=13+11=12ga bo’lamiz. 12 soni 6 ga bo’linadi.
N=k, bol’sa, n3+11n ifodaning qiymati k3+11k soniga teng bo’ladi. Bu son 6 ga bo’linadi deb faraz qilamiz.
N = k+1 bo’lsin. U holda,
n3+11n= (k+1)3+3(k+1)= (k3+11k)+3k(k+1)+12 tenglik o’rinli bo’ladi.
Farazimizga ko’ra, k3+11k soni 6 ga bo’linadi. Ketma-ket keluvchi ikkita natural sonning ko’paytmasi bo’lgan k(k+1)soni 6 ga bo’linadi. Shuning uchun, (k3+11k)+3k(k+1)+12 soni 6 ga bo’linadi.
Demak, n ning barcha natural qiymatlarida n3+11n ifoda 6ga bo’linadi.
Matematik induksiya metodi biror-bir tasdiqni hosil qilish usuli emas, balki berilgan tasdiqni isbotlash demakdir.
Ba’zan bu metod noto’g’ri ham qo’llanishi mumkin.
5-misol. har qanday n natural sonni o’zidan keyin keluvchi n+1 natural soniga tengdir.
Isbot. Har qanday k natural soni uchun tasdiq to’g’ri, ya’ni k=k+1 bo’ladi deb faraz qilaylik. Agar endi bu tenglikning har ikkisi qismiga q soni qo’shilsa, k+1=k+2 bo’ladi. Demak, tasdiq barcha n larda “o’rinli”. Bunda isbotning bazis qismi “unutib” quyilgan. Boshdayoq 1=2 bo’lib qolayotgani ma’lum edi.
Topshiriqlar
1)   ni hisoblang.
2)   ni hisoblang.
Topshiriqlar
Tengliklarni to’g’ri ekanligini isbotlang
2+16+56+….+(3n-2)2n=10+(3n-5)2n+1
5 + 45+325+…+(4n +1) 5n-1= n 5n
3 + 20+168 +…+(2n+1) 2n-1 n!=2n (n+1)!-1
Berilgan: a1=1, a2=9, an+2= 9n+1-20anan =5n –4n a1=3, : a2=15, : an+2=5an+1-4anan= 4n-1
n N bo’lishini isbotlang P. Oksi. 29, Evklidning saqlanib qolgan eng qadimgi qismlaridan biri Elementlar, isbotlar yozish texnikasini o'rgatish uchun ming yillar davomida ishlatilgan darslik. Diagramma II kitob, 5-taklif bilan birga keladi.[1]
A matematik isbot bu xulosa dalil a matematik bayonot, ko'rsatilgan taxminlar mantiqiy ravishda xulosani kafolatlashini ko'rsatmoqda. Dalil ilgari o'rnatilgan boshqa bayonotlardan foydalanishi mumkin, masalan teoremalar; ammo har qanday dalil, asosan, faqat ma'lum bo'lgan asosiy yoki asl taxminlar yordamida tuzilishi mumkin aksiomalar,[2][3][4] ning qabul qilingan qoidalari bilan birga xulosa. Isbotlar to'liq ma'lumotlarga misoldir deduktiv fikrlash mantiqiy aniqlikni o'rnatadigan, ajralib turadigan empirik tortishuvlar yoki to'liq bo'lmagan induktiv fikrlash "oqilona kutish" ni belgilaydigan. Bayonotga tegishli bo'lgan ko'plab holatlarni taqdim etish dalil uchun etarli emas, bu bayonotning haqiqat ekanligini ko'rsatishi kerak barchasi mumkin bo'lgan holatlar. Haqiqat deb ishonilgan tasdiqlanmagan taklif a deb nomlanadi taxmin, yoki keyingi matematik ish uchun taxmin sifatida tez-tez ishlatib turiladigan gipoteza.
Dalillardan foydalaniladi mantiq bilan birga matematik belgilarda ifodalangan tabiiy til odatda ba'zi noaniqliklarni tan oladi. Ko'pgina matematik adabiyotlarda dalillar qat'iy ravishda yozilgan norasmiy mantiq. Albatta rasmiy dalillar, to'liq yozilgan ramziy til tabiiy tilning ishtirokisiz, hisobga olinadi isbot nazariyasi. Orasidagi farq rasmiy va norasmiy dalillar dolzarb va tarixiy jihatdan ko'p tekshiruvlarga olib keldi matematik amaliyot, matematikada kvazi-empirizm va shunday deb nomlangan xalq matematikasi, asosiy matematik jamiyatda yoki boshqa madaniyatlarda og'zaki an'analar. The matematika falsafasi dalillarda til va mantiqning roli bilan bog'liq va matematika til sifatida.
"Isbot" so'zi lotin tilidan olingan probare (sinash uchun). Tegishli zamonaviy so'zlar inglizcha "probe", "probation" va "probability", ispancha probar (hidlash yoki tatib ko'rish, yoki ba'zan teginish yoki sinash uchun),[6] Italyancha provare qilmoq (sinab ko'rish uchun) va nemis probieren (harakat qilmoq). "Ehtimollik" qonuniy atamasi obro'-e'tibor yoki mavqega ega shaxslar tomonidan berilgan dalillarni tasdiqlovchi vakolat yoki ishonchni, dalillarni tasdiqlovchi kuchni anglatadi.
Rasmlar va o'xshashliklar kabi evristik moslamalardan foydalanganlik uchun maqbullik argumentlari qat'iy matematik isbotlashdan oldin bo'lgan.[8] Ehtimol, xulosani namoyish etish g'oyasi avvalo bilan bog'liq holda paydo bo'lgan geometriya, bu erni o'lchashning amaliy muammolaridan kelib chiqqan.[9] Matematik isbotning rivojlanishi birinchi navbatda hosilasi hisoblanadi qadimgi yunon matematikasi va bu uning eng katta yutuqlaridan biri.[10] Fales (Miloddan avvalgi 624-546) va Xios Xippokratlari (miloddan avvalgi 470-410 yillarda) geometriyadagi teoremalarning dastlabki ma'lum dalillarini keltirdi. Evdoks (Miloddan avvalgi 408-355) va Teetetus (Miloddan avvalgi 417–369) teoremalarni tuzgan, ammo ularni isbotlamagan. Aristotel (Miloddan avvalgi 384-322) ta'riflar kontseptsiyani allaqachon ma'lum bo'lgan boshqa tushunchalar nuqtai nazaridan tavsiflashi kerak.
Matematik isboti tomonidan inqilob qilingan Evklid (Miloddan avvalgi 300 y.), Kim aksiomatik usul bugungi kunda ham foydalanilmoqda. Bu bilan boshlanadi aniqlanmagan atamalar va aksiomalar, o'z-o'zidan ravshan deb taxmin qilingan aniqlanmagan atamalarga tegishli takliflar (yunoncha "aksio" dan, munosib narsa). Shu asosda usul yordamida teoremalarni tasdiqlaydi deduktiv mantiq. Evklidning kitobi Elementlar, 20-asrning o'rtalariga qadar G'arbda o'qimishli deb hisoblangan har bir kishi tomonidan o'qilgan.[11] Geometriya teoremalariga qo'shimcha ravishda, masalan Pifagor teoremasi, Elementlar sonlar nazariyasini ham qamrab oladi, shu jumladan ikkitaning kvadrat ildizi irratsional ekanligi va cheksiz tub sonlar mavjudligini isbotlaydi.
Keyingi yutuqlar ham amalga oshirildi O'rta asr Islom matematikasi. Ilgari yunoncha dalillar asosan geometrik namoyishlar bo'lgan bo'lsa, rivojlanish arifmetik va algebra Islom matematiklari tomonidan geometrik sezgiga bog'liq bo'lmagan holda ko'proq umumiy dalillarga yo'l qo'yildi. Milodiy 10-asrda Iroq matematik Al-Xoshimiy "chiziqlar" deb nomlangan raqamlar bilan ishlagan, ammo ko'paytirish, bo'linish va hokazolarga oid algebraik takliflarni isbotlash uchun geometrik moslamalarni o'lchovi deb hisoblash shart emas, shu jumladan mantiqsiz raqamlar.[12] An induktiv isbot uchun arifmetik ketma-ketliklar yilda kiritilgan Al-Faxriy (1000) tomonidan Al-Karaji, buni kim isbotlash uchun ishlatgan binomiya teoremasi va xususiyatlari Paskal uchburchagi. Alhazen shuningdek usulini ishlab chiqdi ziddiyat bilan isbot, buni isbotlashga birinchi urinish sifatida Evklid parallel postulat.
Zamonaviy isbot nazariyasi dalillarni induktiv ravishda aniqlangan deb hisoblaydi ma'lumotlar tuzilmalari, aksiomalar har qanday ma'noda "haqiqat" degan taxminni talab qilmaydi. Bu parallel matematik nazariyalarga, masalan, muqobil aksiomalar to'plamiga asoslangan ma'lum intuitiv tushunchaning rasmiy modellari sifatida imkon beradi. Aksiomatik to'plamlar nazariyasi va Evklid bo'lmagan geometriya.
Tabiati va maqsadi
Amaliyotga ko'ra, dalil tabiiy tilda ifodalangan va tinglovchilarni bayonot haqiqatiga ishontirishga qaratilgan qat'iy dalildir. Qat'iylik standarti mutlaq emas va tarix davomida har xil bo'lgan. Dalil mo'ljallangan auditoriyaga qarab turlicha taqdim etilishi mumkin. Qabulga erishish uchun dalil jamoat talablariga javob berishi kerak; an dalil noaniq yoki to'liq bo'lmagan deb hisoblash rad etilishi mumkin.
Matematik mantiq sohasida dalil tushunchasi rasmiylashtirildi.[14] A rasmiy dalil a bilan yozilgan rasmiy til tabiiy til o'rniga. Rasmiy dalil - bu taxminiy so'zlardan boshlanadigan rasmiy tilda formulalar ketma-ketligi va har bir keyingi formulada avvalgisining mantiqiy natijasi. Ushbu ta'rif dalil tushunchasini o'rganish uchun qulay qiladi. Haqiqatan ham isbot nazariyasi rasmiy dalillarni va ularning xususiyatlarini o'rganadi, eng taniqli va ajablanarli tomoni shundaki, deyarli barcha aksiomatik tizimlar aniqlik hosil qilishi mumkin noaniq bayonotlar tizim ichida tasdiqlanmaydi.
Rasmiy isbot ta'rifi matematika amaliyotida yozilgan dalillar tushunchasini olish uchun mo'ljallangan. Ushbu ta'rifning asosliligi e'lon qilingan dalilni, asosan, rasmiy dalilga aylantirilishi mumkinligiga ishonchni anglatadi. Biroq, avtomatlashtirilgan maydon tashqarisida yordamchi yordamchilar, bu amalda kamdan-kam hollarda amalga oshiriladi. Falsafadagi klassik savol matematik isbotlarning mavjudligini so'raydi analitik yoki sintetik. Kant, kim kiritgan analitik-sintetik farq, ishonilgan matematik dalillar sintetikdir, ammo Quine uning 1951 yilda bahslashdi "Empirizmning ikkita dogmasi "bunday ajratib bo'lmaydigan narsa.
Dalillarga ular uchun qoyil qolish mumkin matematik go'zallik. Matematik Pol Erdos u har qanday teoremani isbotlashning eng chiroyli uslub (lar) ini o'z ichiga olgan gipotetik tom bo'lgan "Kitob" dan kelib chiqadigan dalillarni tasvirlash bilan mashhur edi. Kitob KITOBDAN dalillar 2003 yilda nashr etilgan bo'lib, muharrirlari ayniqsa yoqimli deb topgan 32 ta dalillarni taqdim etishga bag'ishlangan.
Usullari
To'g'ridan-to'g'ri dalil
Asosiy maqola: To'g'ridan-to'g'ri dalil
To'g'ridan-to'g'ri isbotlashda xulosa aksiomalar, ta'riflar va oldingi teoremalarni mantiqiy birlashtirib o'rnatiladi.[16] Masalan, ikkitaning yig'indisi ekanligini isbotlash uchun to'g'ridan-to'g'ri isbotdan foydalanish mumkin hatto butun sonlar har doim ham teng:
Ikkita butun sonni ko'rib chiqing x va y. Ular teng bo'lganligi sababli, ularni quyidagicha yozish mumkin x = 2a va y = 2bnavbati bilan butun sonlar uchun a va b. Keyin summa x + y = 2a + 2b = 2(a+b). Shuning uchun x+y omil sifatida 2 ga ega va ta'rifi bo'yicha hatto tengdir. Demak, har qanday ikkita butun sonning yig'indisi juft bo'ladi.
Ushbu dalilda juft sonlarning ta'rifi, ning butun son xususiyatlaridan foydalaniladi yopilish qo'shish va ko'paytirish ostida va tarqatish.
Matematik induktsiya bilan isbot
Asosiy maqola: Matematik induksiya
Nomiga qaramay, matematik induksiya usuli hisoblanadi chegirma, shakli emas induktiv fikrlash. Matematik induktsiya bilan isbotlashda bitta "asosiy ish" isbotlangan va har qanday o'zboshimchalik bilan ish tutadigan "induksiya qoidasi" isbotlangan nazarda tutadi keyingi ish. Asos sifatida induksiya qoidasi bir necha marta qo'llanilishi mumkin (tasdiqlangan asosiy holatdan boshlab), demak, barchasi (odatda) cheksiz ko'p) holatlar tasdiqlanishi mumkin.[17] Bu har bir ishni alohida-alohida isbotlashdan qochadi. Matematik induksiyaning bir varianti bu cheksiz nasl bilan isbot, masalan, isbotlash uchun ishlatilishi mumkin ikkitaning kvadrat ildizining irratsionalligi.[5]
Matematik induktsiya bilan isbotlashning umumiy qo'llanilishi bitta songa ega bo'lgan xususiyat barcha natural sonlar uchun amal qilishini isbotlashdir:[18]Ruxsat bering N = {1,2,3,4,...} natural sonlar to'plami bo'lishi va P(n) tabiiy sonni o'z ichiga olgan matematik bayonot bo'ling n tegishli N shu kabi
(i) P(1) to'g'ri, ya'ni, P(n) uchun to'g'ri n = 1.
(ii) P(n+1) har doim ham to'g'ri P(n) to'g'ri, ya'ni, P(n) haqiqat shuni anglatadiki P(n+1) haqiqat.
Keyin P(n) barcha natural sonlar uchun to'g'ri keladi n.
Masalan, biz formulaning barcha musbat sonlarini induksiya orqali isbotlashimiz mumkin 2n − 1 g'alati Ruxsat bering P(n) vakili "2n − 1 toq ":
(i) Uchun n = 1, 2n − 1 = 2(1) − 1 = 1va 1 g'alati, chunki u qolgan qismini qoldiradi 1 bo'linish paytida 2. Shunday qilib P(1) haqiqat.
(ii) Har qanday kishi uchun n, agar 2n − 1 toq (P(n)), keyin (2n − 1) + 2 qo'shilishi sababli ham g'alati bo'lishi kerak 2 toq songa toq son kelib chiqadi. Ammo (2n − 1) + 2 = 2n + 1 = 2(n+1) − 1, shuning uchun 2(n+1) − 1 toq (P(n+1)). Shunday qilib P(n) nazarda tutadi P(n+1).
Shunday qilib 2n − 1 barcha musbat sonlar uchun g'alati n.
Qisqaroq "induksiya bilan isbotlash" iborasi ko'pincha "matematik induksiya bilan isbotlash" o'rniga ishlatiladi.[19]
Qarama-qarshilik bilan isbot
Asosiy maqola: Qarama-qarshilik
Qarama-qarshilik bilan isbot infers bayonot "agar p keyin q"mantiqiy ekvivalenti o'rnatish orqali qarama-qarshi bayonot: "agar q emas keyin emas p".
Masalan, qarama-qarshilik yordamida butun son berilgan holda buni aniqlash mumkin , agar teng, keyin hatto:
Aytaylik hatto emas. Keyin g'alati Ikki toq sonning ko'paytmasi toq, shuning uchun g'alati Shunday qilib hatto emas. Shunday qilib, agar bu hatto, taxmin yolg'on bo'lishi kerak, shuning uchun teng bo'lishi kerak.
Qarama-qarshilik bilan isbot
Asosiy maqola: Qarama-qarshilik bilan isbot
Lotin iborasi bilan ham tanilgan, qarama-qarshilik bilan isbotlangan reductio ad absurdum (bema'ni holatga keltirish orqali), agar ba'zi bir fikrlar to'g'ri deb hisoblansa, mantiqiy qarama-qarshilik paydo bo'lishi, shuning uchun bayonot yolg'on bo'lishi kerakligi ko'rsatilgan. Mashhur misol buning isbotini o'z ichiga oladi bu mantiqsiz raqam:
Aytaylik ratsional son edi. Keyin uni eng past darajada yozish mumkin edi qayerda a va b nolga teng bo'lmagan tamsayılar umumiy omil yo'q. Shunday qilib, . Ikkala tomonni kvadratga aylantirganda 2 hosil bo'ladib2 = a2. 2 chapdagi ifodani ajratganligi sababli, 2 o'ng tomondagi teng ifodani ham ajratishi kerak. Anavi, a2 hatto, bu shuni anglatadiki a yuqoridagi taklifda ko'rinib turganidek (hatto qarama-qarshilik bilan isbotida) ham teng bo'lishi kerak. Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin a = 2v, qayerda v shuningdek, butun son hisoblanadi. Dastlabki tenglamaga almashtirish 2 ga teng bo'ladib2 = (2v)2 = 4v2. Ikkala tomonni 2 hosilga bo'lish b2 = 2v2. Ammo keyin, xuddi avvalgi argumentga ko'ra, 2 ta bo'linadi b2, shuning uchun b hatto bo'lishi kerak. Ammo, agar a va b ikkalasi ham juft, ular umumiy omil sifatida 2 ga ega. Bu bizning oldingi bayonotimizga ziddir a va b umumiy omil yo'q, shuning uchun biz shunday xulosaga kelishga majburmiz irratsional son.
Matematik induksiya usuli asosida matematik induksiya prinsipi yotadi. Matematik induksiya prinsipiga asoslangan isbot matematik induksiya usuli bilan isbotlash deyiladi. Bunday isbot ikkita qismdan iborat bo’lib, ikkita mustaqil teoremani isbotlashdan iborat.
1. teorema. A(n) tasdiq n=1 uchun o’rinli.
2-teorema. Agar A(n) tasdiqning n=k uchun to’g’rigidan uning n=k+1 uchun to’g’riligi kelib chiqsa, u holda A(n) tasdig’i ixtiyoriy n uchun o’rinli bo’ladi.
1-misol. Agar 1+3+5+….+(2n-1)=n² tenglik n ning n = k qiymatida to’g’ri bo’lsa, u holda bu tenglik n ning n = k +1 qiymatida ham to’g’ri bo’lishini isbotlang.
Isbot. Berilgan tenglik n=k bo’lganda
1+3+5+….+(2k-1) = k² (1)
ko’rinishni, n = k +1 bo’lganda esa
1+3+5+….+(2k-1) = (k+1)² (2)
ko’rinishni oladi.
Biz (1) tenglikning to’g’ri ekanligidan, (2) tenglikning ham to’g’ri ekanligi kelib chiqishini ko’rsatamiz. Tenglik to’g’ri bo’lsin. U holda,
1+3+5+….+(2k-1) = (1+3+5+….+(2k-1) + (2k+1)=k² = (2k +1) = (k+1)²
tenglik, ya’ni (2) tenglik ham to’g’ri bo’ladi.
Demak, 1+3+5+…+(2n-1)=n² tenglik n ning n=k qiymatida to’g’ri bo’lsa, u holda bu tenglik n ning n = k+1 qiymatida ham to’g’ri bo’ladi.
2-misol. n ning barcha natural qiymatlarida n³+11n ifodaning qiymati 6 ga bo’linishini isbotlang.
Isboti. Matematik induksiya metodini qaraymiz.
1) n=1 bo’lsin. U holda n³+11n=1³+11∙1=12 ga ega bo’lamiz. 12 soni 6 ga bo’linadi
N=k bo’lsa n³+11n ifodaning qiymati k³+11k soniga teng bo’ladi. Bu son 6 ga bo’linadi deb faraz qilamiz.
3) n=k+1 bo’lsin. U holda n³+11n=(k+1)³+3(k+1)=(k³+11k)+3k(k+1)+12 tenglik o’rinli bo’ladi.
Farazimizga ko’ra, n³+11n soni 6 ga bo’linadi. Ketma-ket keluvchi ikkita natural sonning ko’paytmasi bo’lgan k(k+1) soni 6 ga bo’linadi. Shuning uchun,
(k³+11k)+3k(k+1)+12 soni 6 ga bo’linadi.
Demak, n ning barcha natural qiymatlarida n³+11n soni 6 ga bo’linadi.
3-misol. _{ } ayniyatni isbotlash.
Yechish. S₁=7 bo’lishi ravshan. Boshqa tomondan n=1 bo’lganda,
_{ }.
Demak, n=1 bo’lganda formula to’g’ri.
Faraz qilaylik, n=k bo’lganda
_{ } tenglik o’rinli bo’lsin.
_{ } bo’lishini isbotlaylik:
_{ } qilingan farazga ko’ra
_{ }.
_{  }.
Demak, _{ }.
Shunday qilib, berilgan tenglik istalgan n natural son uchun to’g’ri ekan.
4-misol. Ketma-ket keluvchi 3 ta natural son kublarining yig’indisi 9 ga bo’linishini isbotlang.
Yechish. n_{ }N bo’lganda n³+(n+1)³+(n+2)³ ni 9 bo’linishini isbotlaymiz. N=1 bo’lganda 1³+(1+1)³+(1+2)³=36 bu son 9 ga bo’linadi.
n=k bo’lganda k³+(k+1)³+(k+2)³ 9 ga bo’linsin.
n=k+1 bo’lganda (k+1)³+(k+2)³+(k+3)³ 9 ga bo’linishini ko’rsataylik: (k+1)³+(k+2)³+(k+3)³=(k+1)³+(k+2)³+k³+9k²+27k+27=[k³+(k+1)³+(k+2)³]+9(k²+3k+3).
Bu yig’indining har bir qo’shiluvchisi 9 ga bo’linadi: qilingan farazga ko’ra (k+1)³+(k+2)³+(k+3)³ son 9, ikkinchi qo’shiluvchi 9 ga karrali. Agar yig’indining har bir qo’shiluvchisi biror songa bo’linsa, yig’indi ham o’sha songa bo’linadi. Demak, n_{ }N bo’lganda n³+(n+1)³+(n+2)³ ni 9 bo’linadi.