Fizika- matematika fakulteti

4-misol.
astroida yoyining uzunligini toping.
Yechish: Astroida koordinat o‘qlariga nisbatan simmetrik bo‘lganligi uchun 1/4 yoy uzunligini topamiz.
Oshkormas funksiya hosilasiga asosan
bundan, Yoy uzunligi formulasiga asosan,

3. Aylanma jism hajmini hisoblash
chiziqlar bilan chegaralangan figuraning OX o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi
(7)
aniq integral bilan hisoblanadi.
chiziqlar bilan chegaralangan figuraning o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi
(8)
formula bilan hisoblanadi.
8-misol. parabola, to‘g‘ri chiziq va o‘qi bilan chegaralangan figuraning o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmini hisoblang.
Yechish. Masala shartiga ko‘ra o dan 3 gacha o‘zgaradi. Demak,
.
9-misol. ellipsning o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jism hajmini hisoblang.
Yechish. Bunday jismga aylanma ellipsoid deyiladi. Ellips tenglamasidan
bo‘lib, integralning chegaralari bo‘ladi. (8) formulaga asosan,

Demak,
bo‘lsa, shar hosil bo‘lib bo‘ladi.
Misol. oraliqda ushbu

zanjir chiziq yoyining uzunligini toping.
Avval funksiyasining xosilasini xisoblab, ni topamiz:

,
= .
Endi (4) fo’rmulaga ko’ra zanjir chiziq yoyining oraliqdagi yoyi uzunligini xisoblaymiz.
.
Quyidagi
(5)
tenglamalar sistemasi orqali ifodalangan egri chiziqni qaraymiz .
bu xolda egri chiziq parametrik xolda berilgan deyilib (5) sistema egri chiziqning parametrik tenglamalari deyiladi. Bunda lar oraliqda uzluksiz funksiyalar bo’lib, t o’zgaruvchi –parametrining oraliqdagi ixtiyoriy ikita turli va qiymatiga mos keladigan (5) chiziqdagi nuqtalar
xam turlicha bo’lsin. Bundan tashqari, parametr ning va qiymatlariga mos keladigan (5) chiziqdagi nuqtalarni bo’lganda, nuqta nuqtadan keyin keladi deb qaraladi. Shu bilan egri chiziqda yo’nalish o’rnatiladi.
Faraz qilaylik , qiymatlarga (5) chiziqda A va B nuqtalar mos kelsin. Bu chiziqning yoyi uzunligi aniq integral orqali qanday ifodalanishini ko’rsatamiz.
Aval yuqoridagidek yoyining uzunligi aniqlaymiz. oraliqni ixtiyoriy

bo’laklashni olib, bu bo’laklashning bo’luvchi nuqtalariga mos kelgan yoydagi
( )
nuqtalarni bir-biri bilan to’g’ri chiziq kesmalari yordomida birlashtirib, yoyga chizilgan siniq chiziqni topamiz. Bu siniq chiziqning perimetri quyidagi
(6)
fo’rmula bilan ifodalanadi. Ravshanki funksiyalarga xamda oraliqni bo’laklashga bog’liq, yani .
Yuqoridagidek, dasiniq chiziq perimetri chekli limitga ega, yani

bo’lsa yoy uzunlika ega deyiladi,bu limit esa yoy uzunligi deyiladi.
Endi yoy uzunlikka ega bo’lishi uchun xamda yoy uzunligini anuq integral orqali ifodalanishini ko’rsatish moqsadida funksiyalarni oraliqda uzluksiz xosilalarga ega deb qaraymiz. Xar bir oraliqda funksiyalar Lagranj teoremasini shartlarini qanoatlantiradi. U holda Lagranj teoremasiga ko’ra intervalda shunday nuqta topiladiki, ushbu
(7)
t englik, shuningdek shu intervalda shunday nuqta topiladiki,
(8)
tenglik o’rinli bo’ladi.
Bu (7), (8) munosabatlardan foydolanib (6) siniq chiziq perimetrini quyidagicha yozamiz.


bunda . So’ngra ni ushbu

(9)
( oraliqdagi ixtiyoriy nuqta ) ko’rinishda yozib bu tenglikning o’ng tomonidagi

yig’indini baxolaymiz.
Aval eslati o’tamizki, ixtiyoriy sonlar uchun
(10)
tengsizlik o’rinli. Xaqiqatan xam,

=
chunki

agar (10) tengsizlikdan foydolansak, yuqoridagi yig’indi uchun
ushbu





tengsizlika kelamiz.
Shartga ko’ra xosilalar oraliqda uzluksiz. Kantor teoremasining natijasiga muofiq olinganda xam

Songa ko’ra shunday son topiladiki, oraliqda diametri bo’lgan xar qanday bo’laklashda

tengsizlik, shuningdek,


tengsizlik xam o’rinli bo’ladi. U xolda quyidagiga ega bo’lamiz.

<
=0 (11).