Fizika fakulteti nazariy fizika va kvant elektronikasi

Normal koordinatalar 
 
Umumlashgan koordinatalarni shunday qilib tanlab olish mumkinki, 
ularning har biri oddiy bita tebranishni ifodalasin. Haqiqatan, (5) tenglamalar 
sistemasini yechib, 
S
θ
θ
θ
,...,
,
2
1
  kattaliklarni 
S
x
x
x
,...,
,
2
1
  koordinatalar orqali 
ifodalash mumkin. Demak, 
α
θ
 kattaliklarga Yangi umumlashgan koordinatalar deb 
qarash mumkin. Bu koordinatalar odatda normal koordinatalar deyiladi va ular 
oddiy tebranishlarni ifodalaydi va q
o’yidagi tenglamalarni qanoatlantiradi: 
0
2
=
+
α
α
α
θ
ω
θ


 
Lagranj funksiyasi esa bu koordinatalarda q
o’yidagicha yoziladi: 
(
)
∑
−
=
2
2
2
2
α
α
α
θ
ω
θ
α

m
L
 
Agar 
α
α
θ
α
θ
m
=
 almashtirish 
o’tkazsak, 
(
)
∑
−
=
2
2
2
2
1
α
α
α
θ
ω
θ

L
 

Mustaqil ishlash uchun savollar: 
1.  K
o’p erkinlik darajasiga ega bulgan sistemadagi tebranishlar sistemasi uchun 
Lagranj funksiyasi qanday b
o’ladi? 
2.  Harakat tenglamasi va uning yechimini k
o’rsating. 
3.  Normal koordinatalarni tushuntiring. 
 
 
 
 
 

17-ma’ruza:  NOCHIZIQLI TEBRANISHLAR.  
 
REJA 
  Adiabatik invariantlar.  
  Krilov-Bogolyubov uslubi bilan tuzish.  
  Parametrik rezonans.  
  Tez tebranib o’zgaruvchi maydondagi harakat. 
 
TAYANCH SO’Z VA IBOTALAR: chiziqli bo’lmagan tebranishlar, Krilov-Bogolyubov usuli, chiziqli 
bo’lmagan tebranishlar. parametrik rezonans, yassi mayatnik, bir o’lchamli harakatda Lagranj 
funksiyasi. 
 
          Ko’pgina mexanik sistemalarda harakat chiziqli bo’lmagan tenglamalar 
yordamida ifodalanadi. Biz o’tgan temada ana shunday tebranishdan – angarmonik 
tebranishlarni ko’rgan edik. Odatda bunday tenglamalar chiziqli ko’rinishga 
keltirilganda ularni tekshrish ancha osonlashadi, ammo bu holda chiziqli 
bo’lmagan tebranishga xos ko’pgina xusisiyatlar yuqolib ketadi shuning uchun bu 
tenglamani yechishda bir qancha taqribiy usullar taklif qilingan. Shu usullardan 
biri Krilov-Bogolyubov usulidir. 
Qisqacha mayatnik usulida chiziqli bo’lmagan tenglamalarni qaraymiz. 
0
sin
2
=
+
ϕ
ϕ
k


 
Agar tebranish kichik hisoblansa, 
ϕ
sin
 ni 
ϕ
 kichik bo’lgani uchun qatorga yoyib  
                                           
...
!
7
!
5
!
3
sin
7
5
3
+
−
+
−
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
 
tenglamani  
                                           
0
120
6
5
2
3
2
2
=
+
−
+
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
k
k
k


 
ko’rinishda yozishimiz mumkin. Bu esa chiziqli bo’lmagan ifoda etadi. Krilov-
Bogolyubov usuli chiziqli bo’lmagan tayenglamalar ekvivalent chiziqlashtirish 
usuli hisoblanadi. 
        Chiziqli bo’lmagan tenglama  
                                   
 
   
)
,
(
2
x
x
f
x
k
x



µ
=
+
                                        (1) 
ko’rinishga ega bo’lsin. Bu yerda 
)
,
(
x
x
f
   va 
x
x 
,   larning chiziqli bo’lmagan 
funksiyasi, 
µ
- kichik parametr. 
                       Agar 
0
=
µ
 bo’lsa (1) tenglama  
                                           
    
0
2
=
+ x
k
x

                                                    (2) 
Chiziqli tenglamaga aylanadi (2) ning yechimi  
                                                  
ψ
sin
a
x
=
 
ko’rinishda beriladi. Bu yerda  
                                             
const
a
const
kt
=
=
+
=
,
,
α
α
ψ
 
U holda  
                                                 
ψ
cos
ak
x
=

 

Krilov-Bogolyubov usulining mohiyati shundan iboratki, (1) ning chiziqmastlik 
darajasi kichik va tebranish garmonik tebranishlarga yaqin deb hisoblanadi. U 
holda  
                                           
α
ω
ψ
ψ
ω
ψ
+
=
=
=
t
a
x
a
x
,
cos
,
sin

 
bo’ladi. Bu yerda  
[ ]
−
=
=
)
(
),
(
t
a
t
a
a
ω
ω
vaqtning sekin o’zgaruvchi funksiyasi deb 
hisoblanadi. U holda chiziqli bo’lmagan tebranishni ifodalovchi (1) tenglama 
sistemadagi ishqalanish mavjud bo’lganidagi  
                                                        
0
2
2
=
+
+
x
x
k
x
ω



                                            (3) 
Chiziqli tenglamaga ekvivalent bo’ladi. Bu yerda  
                        
∫
−
=
π
ψ
ψ
ψ
ω
ψ
ω
π
µ
2
0
cos
)
cos
,
sin
(
2
d
a
a
f
a
k
                                    (4) 
                 
∫
−
=
π
ψ
ψ
ψ
ω
ψ
π
µ
ω
2
0
2
2
sin
)
cos
,
sin
(
d
a
a
f
a
k
                                       (5) 
Biz bilar edikki, (3) ning yechimi  
α
ω
ψ
ψ
+
−
=
=
=
−
t
k
Ce
a
a
x
kt
2
2
,
,
sin
 
bo’lar edi,  (4) da 
µ
~
k
 bo’lgani uchun u kichik son bo’ladi va  
                                                     
α
ω
ψ
+
≈ t
 
bo’ladi. U holda  
                                                          
ω
ψ
=

 
Agar 
kt
Ce
a
−
=
 ekanligini hisobga olsak,  
                                                     
ka
kCe
a
kt
−
=
−
=
−

 
Demak (1) tenglamani integrallash (6) va (7) kabi birinchi tartibli differensial 
tenglamalarni integrallashga keltiriladi. 
Misol: 
                                                  
3
2
µϕ
ϕ
ϕ
=
+ k


             
)
6
(
2
k
=
µ
 
Tenglamani yechaylik. Bu yerda  
3
)
,
(
ϕ
=
x
x
f

        (8) ning yechimini  
                                                    
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ϕ
cos
,
sin
a
a
=
=

 
tariqasida axtaraniz.  
                                                  
ψ
ϕ
ω
ϕ
3
3
sin
)
cos
,
sin
(
a
a
a
f
=
 
ekanligini hisobga olib  
                     
∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
π
π
π
π
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ω
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ω
ψ
2
0
2
0
3
3
2
2
0
2
0
3
3
1
sin
sin
sin
)
cos
,
sin
(
cos
sin
cos
)
cos
,
sin
(
d
a
d
a
a
f
I
d
a
d
a
a
f
I
 
integrallarni hisoblaymiz. Ko’rsatish mumkunki,  
                                                              
3
2
1
4
3
;
0
a
I
I
π
=
=
 
u holda  

                                                             
2
2
2
4
3
a
k
µ
ω
−
=
 
                                       
)
8
3
1
(
)
4
3
1
(
4
3
2
2
2
1
2
2
2
2
k
a
k
k
a
k
a
k
µ
µ
µ
ω
−
≈
−
=
−
=
 
Biz   
6
2
k
=
µ
  ekanligini hisobga olsak,  
                                                             
)
16
1
(
2
a
k
−
=
ω
 
U holda (6),  (7) tenglamalar quydagicha yoziladi: 
                                                    
)
16
1
(
,
0
2
a
k
a
−
=
=
=
ω
ψ

                                        (9) 
Chunki bizda 
0
=
n
  (9) tenglamalarni integrallaymiz: 
                                           
1
C
a
=
                     
2
2
1
)
16
1
(
C
t
C
k
+
−
=
ψ
 
Biz 
ψ
 ning qiymatini 
ψ
sin
a
x
=
 yechimga qo’yib topamiz: 
                                                     






+
−
=
2
2
1
1
)
16
1
(
sin
C
t
C
k
C
ϕ
                                 (11) 
Agar 
0
,
,
0
0
=
=
=
ϕ
ϕ

a
t
 bo’lsa  
                                                           
2
1
0
sin C
C
a
=
                                               (12) 
                                                    
2
1
cos
0
C
kC
=
                                                      (13) 
ekanligini topamiz.  (13) da        
0
1
1
≠
C
k
, damak 
0
cos
2
=
C
  yoki  
2
2
π
=
C
   u holda 
(12) dan 
0
1
a
C
=
   demak  (11)    yechim  
                                               
t
a
k
a
)
16
1
1
(
cos
2
0
0
−
=
ϕ
 
ko’rinishga ega bo’ladi. 
     
Parametrik rezonans 
                   Shunday ochiq sistemalari mavjudki, bu sistemalarda tashqi maydon 
ta’siri masalasi uning parametrlarining vaqt bo’yicha o’zgarish masalasiga 
keltiriladi. Bunday sistemalarga osilish nuqtasi vertikal holda davriy tebranib 
turuvchi yassi mayatnik misol bo’lishi mumkin. 
       Biz ko’rdikki, bir o’lchamli harakatda Lagranj funksyasi  
                                                   
2
2
2
2
kx
x
m
L
−
=

    
ko’rinishga ega bo’lar edi va bunday sistema parametrlari bo’lib  
k
m,
  kattaliklar 
hisoblanadi. Agar bu parametrlarni vaqt  bo’yicha o’zgaradi deb faraz qilsak, 
harakat tenglamasi quydagicha yoziladi: 
                                                
0
)
(
=
+ kx
x
m
dt
d

                                                 (1) 
Agar o’zgaruvchi 
t
t o’rniga  yangi  
)
(t
m
dt
d
=
τ
  o’zgaruvchi kiritsak, (1)  tenglama  

0
2
2
=
+ mkx
dr
x
d
 
ko’rinishga keladi yoki  
                                                          
0
)
(
2
2
2
=
+
x
t
dt
x
d
ω
                                     (2) 
umumiy ko’rinishda yoziladi. Bu yerda funksiyaning ko’rinishi masala sharti 
orqali aniqlanadi. Faraz qilaylikki, bu funksiya biror chastota (shuningdek, 
γ
π
2
=
T
 
davr) bilan aniqlanuvchi davriy funksiya bo’lsin. Demak, bu funksiya uchun  
                                                 
( )
t
T
t
ω
ω
=
+ )
(
 
bir qiymatlik sharti bajariladi, ya’ni (2) harakat tenglamasi 
 
T
t
t
+
→
almashtirishga nisbatan invariyant bo’ladi. Bundan agar 
)
(t
x
   (2) 
tenglamaning yechimi bo’lsa, 
)
(
T
t
x
+
  ham uning yechimi hisoblanadi degan 
xulosa kelib chiqadi. Boshqacha so’z bilan aytganda agar 
)
(
1
t
x
  va 
)
(
2
t
x
  lar (2) 
tenglamaning bir-biriga bog’liq bo’lmagan ikkita integrali bo’lsa, 
T
t
t
+
→
 
almashtirirish o’tkazilganda ular o’zaro chiziqli bog’lanishda bo’ladi. Bu paytda 
1
x  
va 
2
x larni shuday tanlab olish mumkinki 
T
t
t
+
→
  almashtirishda ular doimiy 
sonlargagina o’zgarsin: 
                                        
),
(
)
(
1
1
1
t
x
T
t
x
µ
=
+
        
)
(
)
(
2
2
2
t
x
T
t
x
µ
=
+
 
Bunday xossalarga ega bo’lgan funksiyalarning umumiy ko’rinishi quydagicha 
bo’ladi: 
                                        
)
(
)
(
1
1
1
t
t
x
T
t
∏
=
µ
             
)
(
)
(
2
2
2
t
t
x
T
t
∏
=
µ
            (3) 
Bu yerda 
T
t
t
−
∏
∏
)
(
),
(
2
1
  davriylik funksiyalar. Agar   (2) ni  
1
x   va 
2
x   lar uchun 
yozsak  
                                     
0
)
(
,
0
)
(
2
2
2
1
2
1
=
+
=
+
x
t
x
x
t
x
ω
ω




 
va ularni mos ravishda 
1
x ,
2
x larga ko’paytirib ayirsak  
0
)
(
2
1
2
1
1
2
2
1
=
−
=
−
x
x
x
x
dt
d
x
x
x
x






 
bundan  
                                            
const
x
x
x
x
=
−
2
1
2
1


                                           (4) 
ekanligini topamiz. Agar  (3) ni e’tiborga olsak, (4) dagi aralash ko’paytma 
2
1
µ
µ
 
koeffisentlarni paydo bo’lishiga va ko’paytmaning doimiy songa teng bo’lishiga 
kamida  
                                                                    
1
2
1
=
µ
µ
          
bo’lishiga olib keladi. Bundan  
                              
1
  
2
2
2
1
=
=
µ
µ
            yoki          
1
2
1
=
=
µ
µ
  
ekanligi kelib chiqadi. Boshqa tomondan, (3) dan ko’rindiki, funksiya 
µ
 ning vaqt 
bo’yicha darajasi tariqasida vaqt bo’yicha oshib boradi. Demak sistemaning 
muvozanati (x=0 bo’lgan holat ) turg’un bo’lmay qoladi: muvozanat holatda 

cheksiz kichik chetlanish darhol vaqt  bo’yicha oshib ketuvchi chetlanishga olib 
keladi. Bu hodisa parametrik rezonans deyiladi.  
         Parametrik rezanans paydo bo’lish sharti bilan tanishaylik 
)
(t
ω
  funksiya 
ya’ni biror 
0
ω
  doyimiy kattalikdan ham farq qiluvchi va davriy o’zgaruvchi 
funksiya bo’lsa: 
                                                            
)
cos
1
(
)
(
2
0
2
t
h
t
γ
ω
ω
+
=
 
Bu yerda 
1
0
≤
< h
  bo’lgan  kichik kattalik hisoblansin. Agar 
)
(t
ω
  funksiyaning 
tebranish chastotasi ikkilangan 
0
ω
  ga yaqin bo’lsa, parametrik rezonans tezroq 
sodir bo’ladi, ya’ni  
                                                     
)
(
,
2
0
0
ω
ε
ε
ω
γ
≤
+
=
 
u holda harakat tenglamasi  
[
]
0
)
2
cos(
1
0
2
0
=
+
+
+
x
t
h
x
ε
ω
ω


(5) 
 
 
(5) 
yechimni  
t
t
b
t
t
a
x
)
2
sin(
)
(
)
2
cos(
)
(
0
0
ε
ω
ε
ω
+
+
+
=
                    (6)  
ko’rinishda axtarish mumkin. Bu yerda 
)
(
),
(
t
b
t
a
  lar vaqtning sekin o’zgaruvchi 
funksiyalari. (6) yechimni (5) ga qo’yib 
ε
  ning birinchi yechimi darajasidagi 
hadlarni saqlab qolamiz. Bu patda, 
b
b
a
a
ε
ε
~
,
~


 deb hisoblaymiz. Agar  
          
t
t
t
t
)
2
cos(
2
1
)
2
3
3
cos(
2
1
)
2
cos(
)
2
cos(
0
0
0
0
ε
ω
ε
ω
ε
ω
ε
ω
+
+
+
=
+
⋅
+
      
ekanligini hisobga olsak va 
t
)
2
(
3
0
ε
ω
+
  chastotalik hadni tashlab yozsak,   (5) 
tenglama o’rnida  
             
0
)
2
cos(
)
2
2
(
)
2
sin(
)
2
2
(
0
0
0
0
0
0
=
+
+
+
+
+
+
+
−
t
a
h
a
b
t
b
h
b
a
ε
ω
ω
ω
ε
ε
ω
ω
ω
ε


 
tenglamani olamiz. Bu tenglikning bajarilishi uchun 
sin
  va 
cos
  funksiyalar 
oldidagi koeffisentlar nolga teng bo’lishi lozim.  
                                                       
0
)
2
(
2
1
0
)
2
(
2
1
0
0
=
−
−
=
+
+
a
h
b
b
h
a
ω
ε
ω
ε


 
Bu chiziqli tenglamalar yechimni 
t
e
ϕ
  (bu yerda 
2
2
0
)
2
(
2
1
ε
ω
−
=
h
S
) tariqasida 
axtaramiz. U holda  
                                                     
0
)
2
(
2
1
0
)
2
(
2
1
0
0
=
−
−
=
+
+
Sb
a
h
b
h
Sa
ω
ε
ω
ε
 
algebraik tenglamalarga ega bo’lamiz. Parametrik rezonansning paydo bo’laishi 
uchun 
0
2
>
S
 bo’lmog’i kerak, ya’ni  

                                                      
2
2
0
0
ω
ε
ω
h
h
<
<
−
  
Bundan intervalda parametrik razonans paydo bo’lishini ko’ramiz. 
Parametrik rezonans shuningdek kuchsiz ishqalanish  mavjud bo’lganda ham 
paydo bo’lishi mumkin. Ko’rdikki, bu holda tebranish ampilutudasi 
)
2
(
,
m
e
t
β
λ
λ
=
−
  
qonun bilan so’nar edi. Shuning uchun parametrik rezonansda ampilitudaning o’sib 
borishi  
t
S
e
)
(
λ
−
qonun asosida bo’ladi va turg’insizlik sohasining chegarasi 
 
0
=
−
λ
S
 shart bilan aniqlanadi. Rezonans sohasida (6) tengsizlik berilgan holda  
                                        
2
2
0
2
2
0
4
)
2
(
4
)
2
(
λ
ω
ε
λ
ω
−
<
<
−
−
h
h
  
ko’rinishda yoziladi.