Fizika matematika fakulteti matematika kafedrasi

Kurs ishining tarkibiy tuzulishi va hajmi: Kirish, 2 bob, 4 paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat.

I BOB. FURYE QATORI HAQIDA UMUMIY MA’LUMOT

1. 
   Furye qatori haqida tushuncha
   

So'nggi yillarda ta'limda kompetentsiyaga asoslangan yondashuvni rivojlantirishga e'tibor qaratilmoqda. Universitet bitiruvchisining akademik bilimlari, ko'nikmalari va qobiliyatlari emas, balki uning kasbiy faoliyatni professional tarzda amalga oshirish qobiliyati alohida ahamiyatga ega, bu esa kadrlar tayyorlash sifatini belgilaydi. Universitetlarning fizika va muhandislik mutaxassisliklari talabalariga matematikani kasbiy yo'naltirilgan holda o'qitish muammosi dolzarb bo'lib qoladi, chunki matematika tabiiy fanlarda uslubiy funktsiyani bajaradi va fizika tili hisoblanadi. Ushbu muammoni hal qilish vositasi matematika va fizika (texnik fanlar) mazmunini "matematika" fan sohasi doirasida birlashtirish bo'lishi mumkin. Bu xulosaga [1] - [4] tadqiqotchilar soni ortib bormoqda. XONIM. Ammosova, N.A. Baygazova, V.R. Belomestnova, E.A. Vasilevskaya, L.V. Vasyak, M.L. Gruzdeva, V.A. Dalinger, T.V. Ignatieva, E.I. Ismagilova, O.E. Kirichenko, I.G. Mixaylova, S.X. Muxametdinova, S.V. Plotnikova, S.A. Rozanova, T.I. Fedotova va boshqalar.Integratsiya darsliklari nashr etilgan: texnika oliy oʻquv yurtlari talabalari uchun matematikadan amaliy va fizik masalalar toʻplami [5], [6].
Oliy matematika boʻyicha ilmiy-metodik nashrlar, darsliklar va muammoli kitoblar tahlili shuni koʻrsatadiki, matematik va maxsus fanlarni birlashtirish vositalari quyidagilar boʻlishi mumkin: a) amaliy xarakterdagi matematik masalalar, b) fizikaviy va fizik-texnikaviy masalalarni matematik modellashtirish usuli. (matematika amaliyoti darajasida integratsiya) . Biroq, muammolarni hal qilishda matematik nazariyaning tayyor natijalari qo'llaniladi, ular bir vaqtning o'zida integratsiya doirasidan tashqarida qoladi.
Ammo bu murakkab "begona" ob'ekt sifatida nazariya bo'lajak muhandislar va fiziklar tomonidan matematikani o'rganishda eng katta rad etish, "rad etish", "tananing qarshiligi" ni keltirib chiqaradi. Aynan matematikaning "sof" nazariyasi odatda ularning fanga qiziqishi va o'qishga bo'lgan motivatsiyasining pasayishiga, o'quv faoliyatining yomonlashishiga olib keladi va jiddiy psixologik muammolarni keltirib chiqaradi (masalan, birinchi kurs talabalariga moslashishni qiyinlashtiradi), bilimdagi rasmiyatchilik va shu bilan nazariy fikrlashning rivojlanishini cheklaydi. Buning oqibatlarini e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi.
Shunday qilib, integratsiya faqat matematikaning «tashqi jabhasini» qamrab oladi, uni zamon talablariga javob beradigan deb hisoblash mumkin emas. Bizning fikrimizcha, agar ma’ruza darslarida matematik tushunchalarni kiritish fizik (fizikaviy-texnik) ob’ektlar va tuzilmalarni modellashtirishga asoslangan bo’lsa, matematika va fizika (texnik fanlar) o’rtasidagi fanlararo aloqalarni mustahkamlash mumkin. [7] da, matematik tahlilning tegishli tushunchalarini kiritishda ularning modellaridan foydalanish uchun fizik hodisalar ro'yxati taklif etiladi.
Oliy matematikani o'qitish samaradorligi muammosi, agar muhim matematik tushunchalarni kiritishda:
1) mazmunli umumlashtirishga tayansa;
2) umumlashtirish fizik (fizika-texnik) material bo'yicha amalga oshirilishi kerak.
Shunday qilib, bo'lajak muhandislar va fiziklarga matematikani o'rgatishda tushunchalarning tayyor ta'riflari emas, balki ular qo'llanilsa ham, illyustratsiyalar paydo bo'lishi kerak, tushunchalarni matematik asosdan (xususan, geometrik asosdan) tanlash emas, balki. fizik hodisalarning xilma-xilligi orasida universal mavhum shakllarni aniqlash.
Talabalarga matematik tushunchalarni o'rgatish algoritmi to'rtta asosiy bosqichdan iborat:
Fizika tilidagi fizik hodisani (strukturani) tavsiflash va fizik masalani shakllantirish, uning yechimi yangi matematik tushunchani talab qiladi (bu holda, umuman olganda, bir nechta fizik masalalardan foydalanish kerak;
ushbu turdagi har qanday muammoni hal qilish uchun universal asos rolini o'ynaydigan munosabatlarga o'tish imkonini beruvchi mazmunning bunday o'zgarishini amalga oshirish;
) Bu munosabatlarni belgi modelida o'rnatish, bu uning xususiyatlarini "sof shaklda" ko'rib chiqishga imkon beradi;
) Asl masalani yechish shartlari va usulini aniqlash imkonini beradigan bu munosabatning shunday xossalarini o'rnatish. Shunday qilib, biz universitetlarning fizika, matematika va muhandislik mutaxassisliklari talabalari uchun oliy matematikaning nazariy kursida fizik masalalarni modellashtirishga asoslangan Furye qatori tushunchasini kiritish algoritmini ko‘rib chiqdik.
Algoritm yordamida jismoniy voqelikdan matematik tushunchalarning kelib chiqish shartlarini aniqlashga asoslangan mazmunli umumlashtirish amalga oshiriladi. Bu usul matematikani o'rganishga bo'lgan motivatsiyani kuchaytirish, ta'limning kasbiy yo'nalishi va o'quvchilar bilimidagi rasmiyatchilikni bartaraf etish, fizik hodisalarni matematik modellashtirish ko'nikmalarini egallash uchun sharoit yaratadi
Davri 2 dan iborat bo`lgan f(x) funktsiya berilgan bo`lsin. Yig`indisi f(x) bo`lgan quyidagi yaqinlashuvchi trigonometrik qatorni topish talab qilinsin:
(1)
Agar bu masalaning yechimi mavjud bo`lsa, bu yechim yagona bo`lib, (1) qatorning koeffisiyenti Eyler – Furye formulalari yordamida topiladi:
va (2)
Hosil bo`lgan (2) qatorga f (x) funktsiya uchun Furye qatori deyiladi.
, (3)
Ko`rinishdagi qator tregonametrikqator deyiladi, bunda tregonametrik qator koeffisentlari deyiladi.
Bu qator ixtiyoriy da 2 davrga ega funksiyalardan tuzilgan, shuning uchun, agar u kesmada yaqinlashsa, da ham yaqinlashadi.
Agar da
(4)
Sistemaning bir xil bo`lmagan elementlari ko`paytmasidan integral olsak, natija nolga
(5)
bitta funksiya kvadrati integrali
(6)
ekanligini olamiz. Agar qaralayotgan funksiyalar evalit fazasida deyilsa, sistema elementlari o`zaro ortagonaldir.

(7)

Bundan tashqari,

(8)

Teorema. Agar funksiya da aniqlangan, integrallanuvchi va hadma-had integrallanadigan trigonametrik qatorga yoyilsa,
(9)
u holda yoyilma yagonadir. Isboti. Yoyilmani da integrallaymiz.
(10)
Demak. ko`rinishida topilar ekan.
(11)
Bundan, ko`rinishida bo`lishi kelib chiqadi. Yoyilmani sinkx ga ko`paytirib integrallasak,
(12)
kelib chiqadi, undan ko`rinishida ekanligi topiladi.
Demak, har bir koeffisenti yuqoridagi integrallar yordamida topiladigan funksiya yoyilamasi yagonadir.
Yuqaridagi koeffisentlari f(x) funksiyaning [ ] kesmadagi Fure koeffisentlari,
(13)
qator esa f(x) ning Fure qatori deyiladi.
2 davrli, [ ] f(x) bilan ustma- ust tushadigan, da davriy davomi F(x) ga yaqinlashadi.
Faraz qilaylik, f(x) funksiya [ ] da aniqlangan, juft bo`lsin,
U holda
bo`lib,

ko`rinishga ega bo`ladi.
Agar f(x) toq, f(-x)=-f(x) bo`lsa,
(15)
bo`lib,

ko`rinishini oladi.
Misol. 1) f(x)=x bo`lsin. U holda funksiyaning toqligidan


(16)

Demak, f(x) uchun Fure qatori

(17)
ko`rinishda bo`ladi , tenlik da o`rinli , da
olinadi. f(x)=x<sup>2</sup> bo`lsa,
(18)

ga mos Fure qatori da
(19)
bo`ladi.
Agar f(x) funksiya da yaqinlashgan 2 davrli funksiya bo`lsa, §= ko`rinishida yangi o`zgaruvchi kiritsak bo`lib, da bo`ladi, bunda
Eski o`zgaruvchilarga qaytsak,
(20)

ko`rinishida, Fure qatori esa

(21)
ko`rinish oladi. Davri 2 dan iborat bo`lgan quyidagi
(22)
trigonometrik qator x ning barcha qiymatlarida f(x) funktsiyaga yaqinlashsin. Agar integral mavjud bo`lsa, u holda, qatorning koeffisentlari uchun quyidagi Eyler–Furye formulalari o`rinli bo`ladi:
(bunda n=0,1,2,3,…)
(bunda n=1,2,3,…)
Oldingi paragrafdagi formulalar = bo`lganda kelib chiqadi.