Fizika-matematika fakulteti
Download 0.87 Mb. Pdf ko'rish
|
Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi
- Bu sahifa navigatsiya:
- K U R S I SH I Mavzu: “Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziq” BAJARDI
- Tarixiylik
- Fanlar ichki aloqalarini amalgam oshirish
- Mustaqil oqib bilim orttirish
|
O ’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O ’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI FA R G ’ONA DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI “MATEMATIKA O’QITISH METODIKASI” TA’LIM YO’NALISHI K U R S I SH I Mavzu: “Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziq” BAJARDI: M O’M 17.03- guruh talabasi Mamalatipova Dildora Farg’ona-2020 Birinchi Prezidentimiz Islom Karimov tashabbusi bilan 2010 yil “Barkamol avlod yili” deb e'lon qilingan edi. Mamlakatimizning barcha jabhalarida amalga oshirilayotgan keng ko'lamli islohotlar, huquqiy demokratik davlat va erkin fuqorolik jamiyatini qurish zamirida, avvalambor, inson
manfaatlari, uning
intelektual salohiyatini yuzaga chiqarish, kasb mahoratini oshirish uchun zarur shart-sharoit vazifalari mujassam. Bu borada barkamol avlodni tarbiyalash, um um talim maktablari, oliy va o'rta maxsus ta lim sohasida yuqori malakali kadrlarni tayyorlash, ilm-fan, ta lim hamda ishlab chiqarish o'rtasidagi o'zaro hamkorlikni yanada rivojlantirishga alohida e'tibor qaratilmoqda. Davlat ta'lim ini rivojlantirish davlat umummilliy dasturi doirasida 2005-2009 yillar davomida jami 8541 ta umumta lim maktabi mebel, o'quv labaratoriya asbob-uskunalari, kompyuter mexakanikalari, sport anjomlari va maxsus jihozlar bilan ta'minlandi. Buning uchun Moliya vazirligi huzuidagi byudjetdan tashqari maktab ta'lim i jam g'arm asi hisobidan jami 463, 8 milliard; (2005 yili 41,9 milliard; 2006 yili 53,6 milliard; 2007 yili 101,3 millard; 2008 yili 136,8 milliard; 2009 yili 130,2 milliard.) so'm mablag' ajratildi. O'quv jarayonida samaradorlikka erishish uchun zamonaviy ilg'or pedagogik texnologiyalar, noan'anaviy dars usullari va o'zaro faol o'quv jarayonini tadbiq qilish lozim. O'zaro faol usullarni o'quv jarayoniga qo'llash uchun esa o'tiladigan mavzuni talabalar, o'quvchilar o'zlari mustaqil tayyorlab kelishlari talab etiladi. Jarayonning samaradorligini oshirish maqsadida innovatsion usullarini
qollashda endi biz - pedagoglar “O quvchlarni oqitm aym iz, balki kitobni o q ish g a orgatam iz” shiorini amalga oshiramiz. Buning sabababi shundaki, agarda talaba va oquvchilar darsga tayyor holda kelmasalar, hech qanaqa faol usuldan samarali foydalanib bolm aydi. Natijada oqituvchi yana o z -o z id a n ananaviy shaklda dars otishiga t o g r i keladi. Buning uchun talaba yoshlarimiz erkin fikrlash madaniyatiga ega bolishlari zarur. Bu masalalar tizimini yaratish talabalarda erkin fikrlash madaniyatini tarbiyalashning tamoyillarini Nizomiy nimidagi Toshkent davlat pedagogika universiteti professori, p.f.n. R.Niyozmetova quyidagilarga ajratdi: Tarixiylik tamoyili masalalarni tarixiy bilimlarda foydalanib yechish imkoniyatini beradi. Bu esa ilmiy dunyoqarashning, ijodiy fikrning shakllanishi, bitta dalilning o z i g a nisbati turli nuqtai nazarlar mantig ini va kurashini hisobga olish, sabab-oqibat bog lanishlarini aniqlashga imkon beradi. B a z i tarixiy dalillar ta lim jarayoniga qiziqarlilik elementini olib kirishi mumkinligi, bu ham erkin fikrlashning rivojlanishiga olib keladi;
o rganishning turli bosqichlarida masalani yechishda uning turli bolim lari orasidagi zaruriy aloqalarni aniqlashdan iborat. Bunda, bir tomondan, talabalar o qitishning ma lum bosqichida yechiladigan masala qachon va qayerda foydalanilishini hisobga olishlari, ikkinchi tomondan esa yangi masalani yechishda ilgari o rganilgan qaysi materialga tayanish mumkinligini bilishari zarur;
Fanlararo aloqalarni amalga oshirish tamoyilini turli o'quv fanlarida bilish faoliyati aspektida qarash va shu asosda yaxlit masalalar struktura sini yaratish mumkin. Bu esa pirovard natijada, erkin fikrlashning rivojlanishiga jiddiy ta'sir
etadi. Kasbiy
yo'nalganlik tamoyilidan erkin fikrlashni rivojlantirish jarayonida foydalanishdan bosh maqsad - b o lajak pedagog faoliyatning ma l u m sifatlarini rivojlantirishga yo'naltirishni ko'zda tutadi. Talabalarda kasbga yo'nalganlikni rivojlantirish - bu ularda bo lajak kasbiga munosabat, qiziqish, unga bo'lgan
maxsus qobilyatlarini mustahkamlash demakdik;
tomonidan boshqariladigan maqsadga yo'nalgan bilim faoliyatini ta'minlaydi. Qo'yilgan masalaning o'z yechimini izlash maqsadlarini aniqlash, mustaqil xulosalar qilishga intilish, fan, texnika, madaniyatning turli sohalarida izchil bilim olish shaxs tomonidan erkin fikrlash madaniyati rivojlanganligining yuqori darajasiga erishilganligi haqida guvohlik beradi. Talaba yoshlarimiz ilmiy va ommabop adabiyotlardan mustaqil foydalanishni, ya'ni mustaqil bilim olish madaniyatiga ega bo'lishi kerak. Fanlardan o'zlashtirishda darslik bilan bir qatorda qo'shimcha adabiyotlardan foydalanish talab etiladi. Geometriya insoniyat paydo bo'lishi tarixi davomidagi eng qadimiy fanlardan biri hisoblanadi. Fanning tizimli ravishda rivojlanishida (abstraklashuvida) eramizdan avvalgi III asrda yashab ijod qilgan grek olimi Yevklidning “Negizlar” nomli asari sabab bo'ldi. Bu asar 13 ta kitobdan iborat bo'lib, unda Yevklid dastlab 3 ta'riflar, postulotlar (Yevklid bu terminnni geometrik tushunchalar uchun ishlatgan bo'lsa, aksoimalarni algebraik munosabatlar uchun ishlatgan). Insoniyat tarixida inson yaratgan kitoblar orasida eng ko'p marta qayta nashrdan chiqarilgan ushbu kitobda Yevklid geometriyasini aksiomatik qurilishini bayon etib, nuqta, to 'g 'ri chiziq va tekislik kabi asosiy tushunchar yordamida keyingi figuralar ta'rifi, ularni bog'lovchi munosabatlat, teoremalar va ularni izchil isbotlash tarzida tizimga solindi. 1826 yil Qozon davlat universiteti professori N.I.Lobachevskiy tomonidan noyeyklid geometriyaga asos solindi. Bu yerda dastlabki to'tta aksiomani o 'z o'rnida qoldirib (bu t o r t aksioma o'rinli bo'lgan geometriya absolyut geometriya deb yuritiladi) beshinchi parallellik aksiomasini almashtirish bilan yangi geometriya hosil qilindi. Yevklidning beshinchi postulotining ingliz pedagogi Pleyfer tomonidan yaratilgan ekvivalanti: Tekislikda to'gri chiziqdan tashqaridagi nuqtadan u bilan kesishmaydiganyogona to'g'ri chiziq o'tadi. Ushbu postulotni lobachevskiy quyidagi bilan almashtirdi: Tekislikda to'gri chiziqdan tashqaridagi nuqtadan u bilan kesishmaydigan kamida ikkita to'g'ri chiziq o'tadi. Lobachevskiyning deyarli barcha zamondoshlari uning yaratgan geometriyasi xatolikkka ega deb hisoblashar edi. Ular bu geometriyani biz yashab turgan fazoda qo'llab bo'lmasligi bilan birga, bu geometriya qachonlardir ichki qarama-qarshilikka uchraydi deb hisoblashar edi. 4 Noyevklid geometriya tarafdorlari uchun bu geometriyani zidsiz ekanini asoslash, boshqalarni bunga o'rgatish uchun biror usul yoki yevklid geometriyasi doirasida ushbu geometriyani tushuntira biladigan uning modellarini yaratish zarurati bor edi. Bunday modellardan biri Keli-Kleyn modeli bo'lib hisoblanadi. Bu model doira va uning oxirlari hisobga olinmagan vatarlari yordamida tushuntiriladi. Ikkinchi model fransuz matematigi Puankare tomonidan Lobachevskiy geometriyasi uchun taklif qilingan modeldir. Bu model doira va uning ichki nuqtalari Lobachevskiy tekisligi deb olinib, Lobachevskiy tekisligidagi nuqta doira ichidagi nuqtaga, t o g r i chiziq esa ushbu doiraga orthogonal aylananing doira ichidagi yoyi tushuniladi. Bu ikki model ham Lobachevskiy geometriyasining keyingi rivojlanishga katta xizmat qilgan modellardir. Referat mavzusi ana shunday muhim masalani o'rganishni o'z oldiga maqsad qilib qo'ygan. Olingan maqsadga k o r a referat kirish, ikkita paragraf va xulosa shaklida bajarish rejalashtirildi. Birinchi paragrafda noyevklid geometriyalar haqida umumiy ma'lumot berildi. Bu yerda noyevklid geometriyalarni asoslash va uni barcha uchun tushunarli tilda bayon etish maqsadida modellari yaratilishi zarurati bor ekanligi va ularning ushbu geometrlarni o'rganishdagi ahamiyati haqida so'z yuritildi. Ikkinchi paragraf Lobachevskiy geometriyasining Puankare modelini izohlashga bag'ishlandi. Ushbu model uchun zarur bo'lgan ortogonal aylanalar va ularni yasash, inversiya va inversion 5 almashtirishlar kabi tushunchalar bayon etildi. Shundan so ng “Puankarening sehrli dunyosi” deb ataluvchi modeli kiritildi. Ushbu model yordamida cheksiz uzoqlikdagi nuqta tushunchasi o'z aksini topdi.
Xulosa qismida olingan natijalar tahlil qilingan. Referatni bajarishda foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati keltirilgan. 6 I.Tekislikda ikkinchi tartibli egri chiziqlar haqida umumiy mulohazalar. 1.1 Ellips ta ’rifi, tenglamasi, direktrisalari ,ekssentrisiteti, m arkazi, diam etrlari . 1.1.1Ellips ta’rifi. Har bir
nuqtasidan berilgan ikki nuqtagacha masofalarining yig’indisi o’zgarmas miqdor bo’lgan geometrik o’rin ellips deyiladi. Bu ta’rifga asoslanib, ellipsning tenglamasini tuzish mumkin . Buning uchun berilgan nuqtalarni
va F , ularning orasidagi masofani 2 c va o’zgarmas miqdorni 2
faraz qilamiz. F va
F nuqtalardan o’tgan to’g’ri chiziqni absissa o’qi va unga perpendikulyar bo’lib, F F n in g o’rtasidan o’tgan to’g’ ri chiziqni ordinata o’qi faraz qilamiz (1.1.1-chizma). (1.1 .l-chizma) Ellipsga qarashli nuqtalardan biri M (x,y). Qilingan shart bo’yicha F F — 2c bo’lib, ordinata o ’qi , F F ning o’rtasidan o’tgani uchun, u nuqtalarning koordinatalari
(c,0) va F (—c,0) bo’ladi. Ellips ta’rifiga muvofiq M F + M F — 2a . (1.1.1) M ( x ,
y ) va
F(c,0 ) ,
M(x, y) va
F (—c,0) nuqtalar orasidagi masofalar (ikki nuqta orasidagi masofaning formulasi bo’yicha ) quyidagicha bo’ladi:
c)2 +
y 2, MF' —J (x + c)2 +
y 2.}
(1.1.2) MF va
MF' ifodalar (1.1.1) ga qo’yilsa: \j(x — c)2 + y 2
c)2
—
2a \j(x + c)2
+ y 2 —
2a — \l(x — c)2 +
y 2 bo’ladi. Keyingi tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko’t arilsa : (x + c)2 +
y 2 — 4a
2 — 4a^
(x — c)2 + y 2 +
(x — c)2 + y 2 ,
a^j(x — c) + y —
a —
cx
bo’ladi. Endi bu tenglikni yana bir marotaba kvadratga ko’taramiz: a [(x —
c ) +
y ] —
a —
2a cx +
c x ,
6 yoki 2 2 , 2 2 , 2 2 4 , 2 2
—
c x + a y —
a —
a c yoki
(a 2 —
c 2)x2 +
a 2
2 —
2(a2 —
c 2)
(1.1.3) Shakldagi MFF' uchburchakda : M F + M F '> FF' ,
yoki M F + MF' — 2a va
FF' — 2c bo’lgani uchun 2a > 2c yoki
a > c yoki
a 2 >
c 2 ,
yoki a 2 —
c 2 > 0 ; Shuning uchun
2 —
c 2 ni biror b 2 bilan ifoda qilish mumkin : a2 — c2 —
2 (1.1.4) Buni (3) ga qo’ysak:
2 x2 + a 2 y2 — a 2b2 (1.1.5) Yoki buning ikkala tomonini
2 ga bo’linsa , ellips uchun bnday tenglama kelib chiqadi 2
x2 + y r — 1 (1.1.6) a b Bu tenglamani yoki (1.1.5) ni ellipsning eng sodda tenglamasi yoki kanonik tenglamasi deyiladi . Ellipsning shaklini uning tenglamasi bo’yicha tekshirish. Ellipsning tenglamasini chiqarishda biz uning shaklini ko’rmay, faqat berilgan ta’rifga asoslangan edik. Endi ellipsning shaklini va uning ba’zi bir xususiyatlarini uning tenglamasi yordami bilan tekshiramiz. Buning uchun ellipsning 2 2 x
i —T + ^ r — 1 2 2 a 2
b2 tenglamasini y ga nisbatan yechamiz : 7
y = ± — \ja 2 - x2 (1.1.7) a Tenglamani tekshirish oldida undagi x va
y ning ellipsdagi ixtiyoriy nuqtaning o’zgarnvchi koordinatalari ekanligini yana bir marotaba takidlab o’tamiz .(1) tenglikka qaraganda y x ning funksiyasi bo’ladi. Shuning uchun y ning
qiymatlari x ga berilgan qiymatlariga qarab aniqlanadi. Masalan, absolyut qiymati a dan kichik bo’lgan har bir x = OP ga
y uchun ikki qiymat to’g’ri keladi: y = PM
va y 2 =
PM' . Bularning absolyut qiymatlari o’zaro teng va ishoralari bir-biriga teskari (1.1.2-chizma) 1.1.2-chizma Boshqacha qilib aytganda absissa o’qidagi P nuqtaga ikkita simmetrik
va M nuqtalar to’g’ri keladi. Bu natija umuman ellipsning absissa o’qiga nisbatan simmetrik ekanligini k o’rsatadi. x
bo’lsa, y =
0 bo’lib, u ellipsning eng kichik ordinatasi bo’ladi ; shu bilan birga ellipsning A(a,0) va
A (-a ,0 ) nuqtalari aniqlanadi. x = 0 bo’lsa, y = ±b bo’ladi va y =
ellipsning eng katta ordinatasi bo’ladi. Shu bilan birga ellipsning yana B(0, b) va
B (0,-b) nuqtalari aniqlanadi. Lekin x ning absolyut qiymati
dan katta bo’lmasligi shart, chunki x > a
bo’lgan choqda y mavhum bo’ladi .Demak , absissasining absolyut qiymati a dan
katta bo’lgan hech bir nuqta bizning ellipsga qarashli bo’la olmaydi. Shuning bilan ellips ordinata o’qiga parallel bo’lgan x = a va x = - a (NS vaN’S ’) to’g ’ri chiziqlar orasiga bo’ladi . Endi ellipsning tenglamasini x ga nisbatan yechamiz. Bu holda : x =±
y 2
( 1 . 1 . 8 ) Bu tenglik ustida ham (1.1.7) tenglik ustida qilingan muhokamalarni qlish mumkin. Haqiqatda absolyut qiymati
dan kichik bo’lgan har bir y = OR ga x
8 uchun ikki qiymat to’gri keladi : xt = RK va x
2 =
RK . Bulaming absolyut qiymatlari o’zaro teng va ishoralari bir-biriga teskari . Boshqacha qilib aytganda , ordinata o’qidagi R nuqtaga ikkita simmetrik K va
K nuqtalar to’g’ri keladi.Bu natija umuman ellipsnin ordinata o’qiga nisbatan simmetrikekanligin ko’rsatadi. Lekin hammavaqt y < b bo’lishi shart, chunki aks holda x mavhum bo’ladi. Demak, ordinatasining absolyut qiymati
dan katta bo’lgan hech bir nuqta ellipsda bo’lmaydi. Shuning uchun ellips: absissa o’qiga parallel bo’lgan
va
y = - b to’g ’ri chiziqlar ( SS' va
NN' ) orasida b o’ladi. Tekshirishdan chiqqan natijalarga qaraganda ellipsning cheksiz uzoqlashgan nuqtalari bo’lmay, balki u NN' SS' to’g’ri to’rtburchak ichidagi yopiq shakldan iborat. Ellipsning simmetriya o’qlari: AA = 2a uning katta o ’qi va B B = 2b uning kichik o’qi deyiladi; o’qlarining ellips bilan uchrashgan A,
va
B nuqtalari ellipsning boshlari deyiladi.
va
F' nuqtalar ellipsning fokuslari deyiladi. Ellipsning fokusidan o’tgan ordinatasi ellipsning parametri deyiladi va u , odatda
bilan
belgilanadi. Fokusning absissasi c bo’lgani uchun : Ellipsdagi har bir
(^ , y ) nuqtaga koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo’lgan M 2(-x t
) nuqtaga mos keladi, chunki bu nuqta ham ellipsning tenglamasini qanoatlantiradi. (1.1.3-chizma) Bunga qaraganda ellipsning koordinatalar bohidan o’tgan har bir M M vatari shu nuqtada teng ikkiga bo’linadi, chunki
1.1.3-chizma. xi + (-xi ^ Q
.^1 + ( - .У 1 )
Q 2 , 2 9
Shuning uchun koordinatalar boshi ellipsning simmetriya markazi yoki qisqacha uning markazi deyiladi. Ellipsning ekssentrisiteti. Ellips fokuslari orasidagi masofaning ellipsning katta o’qiga nisbati uning ekssentrisiteti deyiladi va u odatda
harfi bilan belgilanadi, ya’ni e = — = C . (1.1.9) 2a a a
bo’lgani uchun hammavaqt
bo’ladi. Ekssentrisitetning geometrik ma’nosini tekshiramiz. Buning uchun (1) ifodadagi
ni o’z holicha qoldirib, b ning qiymatini orttirib boramiz. Buning natijasida e ning
qiymati kamayib boradi.Ikkinchi tomondan b = OBx ,
,...,bo’lib, o’sib borganda ellips aylanaga yaqinlashib boradi va b = a bo’lganda e = 0 bo’lib, u aylananing o’zi bo’ladi (1.1.4-chizma). 1.1.4-chizma. Aksincha (1.1.9) ifodadagi
ni o’z holicha qoldirib, b ning qiymati kamaytirib borilsa, bundan
ning qiymati o’sib boradi. Ikkinchi tomondan b ning qiymatlari ...,
,..., bo’lib kamayib borganda, ellips aylanadan uzoqlashib, o’tkirlashib boradi va
ning limiti 0 bo’lganda e = 1 bo’lib, ellips AA orasidagi ikkilangan kesmaga aylanadi. Shuning bilan
ning qiymati ellipsning shaklini ifoda qiladi. Ellipsning o’qlarini uning ekssentrisiteti e va parametri p yordami bilan ifoda qilish mumkin. Haqiqatan bo’lgani uchun, bundan demak,
2 Va2 - b 2
— va
----------- a a i 2 2 2 2
,
(1.1.10). 1 -
л/1 - e Ellipsning radius-vektorlari. Ellipsdagi biror nuqta bilan uning biror fokusigacha masofasi u nuqtaning radius- vektori deyiladi. a 10
Faraz qilaylik, ellipsdagi biror M (x ,
nuqtaning radius-vektorlari
va
MF' = r bo’lsin (1.1.5-chizma) . 1.1.5-chizma.
( x ,
y ) va
F (c,0),
M (x , y) va F '(-c,0) nuqtalar orasidagi masofalar (ikki nuqta orasidagi masofaning formulasi bo’yicha ) quyidagicha bo’ladi:
c )2 + y 2,
= лД x + c )2 + y 2. (1.1.11) Bularning har biri kvadratga ko’tarilsa 2
2
^ ^ 2 r = x - 2 cx +
c + y , 2
2
2 2
+ 2
c +
y Keyingi tenglamadan avvalgisi ayirib olinsa r x2
r 2 = 4cx , yoki (r - r)(r + r) = 4cx (1.1.12) Ellipsning asosiy xossasiga muvofiq :
(1.1.13) Bu (1.1.12)ga qo’yilsa
) = 4cx
yoki rl - r = 2 —x (1.1.14) a (1.1.13) dan (1.1.14) ni ayirib olsak c c 2r = 2a - 2 x yoki r = a ----x . (1.1.15) a a 11
(1.1.13) bilan (1.1.14)ni qo’shsak С c 2r =
2a + 2 x yoki r = a н — x .
(1.1.16) a a с Bizda
= e edi. Shuning uchun (1.1.15) va (1.1.16) tengliklami quyidagicha yozish mumkin . r = a - ex Г = a + ex (1.1.17)
Bu formulalar bilan ellipsdagi ixtiyoriy M (x ,
nuqtaning radius-vektorlari
va e
orqali aniqlanadi. Ushbu
radius-vektor formulasini Ellipsning direktrisalari r =
a -
ex Г =
a + ex a r = e(— - x)
e a Г = e(— + x)
1 e ko’rinishida yozib, qavs ichidagi ifodalarga diqqat qilaylik. Birinchi qavsda - va e a ikkinchi qavsda — , ordinata o’qiga parallel bo’lgan to’g’ri chiziqgacha bo’lgan e masofani ko’rsatadi yoki e = c bo’lgani uchun: a x = +- a x — —
a (1.1.18)
Bu tenglamalar ifoda qilgan parallel to’g’ri chiziqlardan biri koordinatalar boshidan o’ng tomonda va ikkinchisi chap tomonda bo’ladi (1.1.6-chizma) c С 12
-JC 1 . 1 . 6 -chizma. (1.1.18) tenglama bilan ifoda qilingan to’g’ri chiziqlar ellipsning a 2 direktrisalari deyiladi. a > c bo’lgani uchun — > a bo’ladi. c Bu esa ikkala direktrisaning ellipsdan tashqarida ekanligini ko’rsatadi ( DE va
D E
to’g’ri chiziqlar ). Endi ellipsdagi biror M ( x , y ) nuqtada absissa o ’qiga parallel qilib M K to’g’ri chiziqni o’tkazamiz. So’ngra
nuqta bilan F va
F
fokuslarni o’zaro tutashtiramiz. M ( x , y ) nuqta ellipsda bo’lgani uchun radius-vektor formulasi bo’yicha :
---------
shakliga muvofiq 2 2
c c yoki
M F :
2 2 a - cx a - cx a MF : MK = с : a = e Shu yo’l bilan davom etganda ikkinchi direktrisa uchun ham xuddi shu natijaning o’zi kelib chiqadi, ya’ni
. Demak, ellipsdagi biror nuqtadan uning biror fokusigacha masofasining u nuqta bilan u fokusga qarashli direktrisasi orasidagi masofaga nisbati o’zgarmas miqdorga (e ga ) tengdir. c 13
Ellipsning diam etrlari. Berilgan yo’nalishga parallel bo’lgan vatarlarning o’rta nuqtalaridan iborat bo’lgan geometrik o’rin egri chiziqning diametri deyiladi. Ellipsning diametrini aniqlash maqsadida bir necha AB ,
,
parallel vatarlarni o’tkazamiz. Bu vatarlar o’zaro parallel bo’lgani uchun ularning absissa o’qi bilan tashkil qilgan burchaklari o’zaro teng bo’lib, faqat ularning ordinata o’qidan kesgan boshlang’ich ordinatalari bir-biriga teng bo’lmaydi. Shuning uhun
ni o’zgarmas va l ni o’zgaruvchi parametr faraz qilganda u vatarlarning hammasini tenglama bilan ifoda qilish mumkin. Vatarlardan birining, masalan,
ning, ellips bilan kesishgan nuqtalarining koordinatalarini
x,
y 1) va D( x2, y2) faraz qilamiz (1.1.7-chizma). 1.1.7-chizma. Bularni aniqlash uchun ellipsning tenglamasi bilan yuqoridagi tenglamani birlashtirib yechishga, ya’ni ushbu Sistemani yechishga to’g’ri keladi. Bu sistemani yechish uchun ikkinchi tenglamadan
ning ifodasini birinchiga qo’yamiz:
2 x2 +
a 2
)2 =
2
2, yoki
b 2x2 +
a 2
2x2 + 2a
2 -
a 2b 2 = 0 , yoki 14
(b2 +
a 2k 2)x2 +
2 a 2klx + a 2(l2 - b 2) =
0 yoki 2
2
2 -
b 2) л
x
r r x + ^ ---- ^ ^ = 0 . b 2 +
a 2
2
2 +
a 2k 2 Bu tenglama ikkinchi darajali bo’lgani uchun, uning umuman ikki ildizi bo’ladi. Ulardan biri x va ikkinchisi x2 faraz qilinsa, kvadrat tenglamaning asosiy xossasiga muvofiq x, + x
0 — — -
2a kl 1
2
7 2
2
5 b + a к
yoki xi ^ x2 _ _ a kl
/1 1
2 Q4)
~ 2
= b 2 + a 2k 2 . ( . . ) Ikkinchi tomondan CD vatarning o’rtasini M (x,
y) faraz qilsak, demak, (2) ga asosan, x = xi
± x2
(1.1.21) x = - 7 / ^ (1.1.22) b +
a k M (x,
y) nuqta
CD da bo’lgani uchun uning absissasini y = k x +
tenglamaga qo’yish mumkin. Bu holda yoki
2 a 2k 2l y = - —т-----т —T ^ l b 2 +
a 2
2
2l
у = U b ± ^
(1.1.23) b + a k (1.1.23) ni (1.1.22) ga hadlab bo’lsak, У _
yoki
15 b 2 У = - b^ x . (1.1.24) a к Izlangan diametming tenglamasi shundan iborat, chunki u M (x ,
nuqtaning koordinatalari orasidagi munosabatni ifoda qiladi. Bu tenglama birinchi darajali bo’lgani uchun to’g’ri chiziqni ifoda qiladi. Ikkinchi tomondan uning boshlang’ich ordinatasi nolga teng. Shuning uchun bu tenglama koordinatalar boshidan, ya’ni ellipsning markazidan o’tgan to’g’ri chiziqni ifoda qiladi.
to’g’ri chiziqning absissa o’qi bilan tashkil qilgan burchagi a faraz
qilinsa, tg a = к (1.1.25) bo’ladi. Bu yo’nalishga tegishli
diametrning absissa o’qi bilan tashkil qilgan burchagi
faraz qilinsa, (1.1.24) bo’yicha b 2
- , (1.1.26)
(1.1.25) bilan (1.1.26) hadlab ko’paytirilsa, b 2
— - . (1.1.27)
Ellipsning CD diametriga parallel bo’lgan vatarlarining ham absissa o’qi bilan tashkil qilgan burchagi
bo’ladi (1.1.8-chizma). 1.1.8-chizma. Agar bu vatarlarga tegishli C 3D3 diametrning absissa o’qi bilan tashkil qilgan burchagi
faraz qilinsa, (1.1.27) ga asosan b 2
= — г . (10)
(9) va (10) tengliklar o’zaro solishtirib qaraganda 16
Yoki tg a = tgP ,
Bu esa birinchi vatarlar sistemasi ikkinchi diametrga parallel ekanligini ko’rsatadi (AB \ \D C ) . Demak, birinchi CD diametr bilan teng ikkiga bo’lingan vatarlar ikkinchisi
diametrga paralleldir. Bu xususiyatga ega bo’lgan diametrlar qo’shma diametrlar deyiladi. Ellipsning o’qlari ham bu xossaga ega bo’lgani uchun ular ellipsning bosh diametrlari deyiladi. M isollar. Misol 1. Katta o’qi 6 ga kichik o’qi 4 bo’lgan ellips tenglamasi tuzilsin. Berigan misolda 2a = 6 va 2b = 4 ,demak: a = 3 va
b = 2 . Bular ellipsning umumiy tenglamasiga qo’yilsa , izlangan tenglama kelib chiqadi: 2 2 x y л
— + — = 1. 9 4 Misol 2. Fokuslari orasidagi masofa 6 ga, ikkinchi o’qi 8 ga teng bo’lgan ellipsning tenglamasi tuzilsin. Bu misolda 2c = 6, demak с = 3 ; 2b = 8, demak, b = 4 . Bularning yordami bilan a ni
topish mumkin. a 2 - c2 = b 2 bo’lgani uchun bundan: a 2 =
b 2 +
c 2 yoki
a = л/b2 + c 2 bo’ladi. Shuning uchun : a = -J 42 + 32 = 5. a va
b ning qiymatlari ellipsning umumiy tenglamasiga qo’yilsa, izlangan tenglamaning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi: 2 2
x 2
y 2
— + — = 1. 25
16 Misol 3. Ellipsning tenglamasi berilgan: 2 2
2
y 2
— + — = 1. 36
9 tg a • tg a = tgP • tg a ' , 17 Buning katta va kichik o’qlari, fokuslarining koordinatalari va parametri topilsin. Berilgan tenglama ellipsning umumiy tenglamasi bilan solishtirib qaralganda : a 2 = 36, b 2 = 9 , demak, a = 6,
b = 3 .
Shuning uchun ellipsning o’qlari 2a = 12 va
2 b =
6 bo’ladi; bularning yordami bilan fokuslar orasidagi с masofani topamiz: C = л/a2 - b 2 = л/36 - 9 = л/27 = 3Л/3 va 2c = 6Л/3 . Ellipsning parametri :
2 9 1 _ p = - = - = 1,5.
a
6 Misol 4. Ellipsning tenglamasi 3x2 + 5 y 2 -1 6 = 0. Buning katta va kichik o’qlari va fokuslarining koordinatalari topilsin. Ellipsning tenglamasini eng avval odatdagi shaklga keltiramiz. Buning uchun uning ma’lum hadi 16 ni o’ng tomonga o’tkazib, so’ngra ikkala tomonni 16ga bo’lamiz: yoki 3x2 + 5
y 2 = 16.
16 16 2 2 x
л - + — = 1 16 16
5 Bu tenglamani ellips tenglamasi bilan solishtirib qaraganda 2 16 i
J (16
4 r a = — , bundan a = . — = л/3 , 3 v 3
3 b 2 = 16, bundan b = — = 4 л/5 5
5
5 16 16
32 c = л/a2 - Download 0.87 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|