Fizika-matematika fakulteti

M: tenglamani butun sonlarda yeching.

bo’ladi. U holda umumiy yechim quyidagicha:









Bu misolni butun sonlarda yechimi yo’q .

Diofant tenglamalarini tadqiq qilishda, odatda, quyidagi masalalar hal etiladi:

1) tenglama butun yechimlarga egami;

2) tenglamaning butun yechimlari soni cheklimi yoki cheksizmi ;

3) tenglamani butun sonlar to’plamida yechish ya’ni uning barcha butun yechimlarini topish;

4) tenglamani butun musbat sonlar to’plamida yechish;

5) tenglamani ratsional sonlar to’plamida yechish.

Ta’kidlash kerakki, tenglamalarni butun sonlarda yechim muammosi faqatgina bir noma’lumli tenglamalar uchun, birinchi darajali tenglamalar uchun va ikki noma’lumli ikkinchi darajali tenglamalar uchun to’la hal etilgan. Darajasi ikkidan yuqori bo’lgan ikki va undan ortiq noma’lumli tenglamalar uchun xattoki butun yechimlarning mavjudligi haqidagi masalalar ham yetarli darajada murakkabdir. Masalan, tenglamaning hech bo'lmaganda bitta butun yechimga ega ekanligi haligacha noma'lum. Bundan tashqari, ixtiyoriy diofant tenglamasini chekli sondagi qadamlar orqali butun sonlarda yechishga imkon beruvchii yagona algoritm mavjud emasligi isbotlangan. Tenglamalarni butun sonlarda yechish nazariyasining muhim masalalaridan biridir. Avvalo bir noma’lumli tenglamalarni qaraymiz. Bizga bir noma’lumli

_ . . . _ (1)

tenglama berilgan bo’lsin, bu erda _—natural son, _{  } , _ −butun sonlar bo’lib _. Agar _ butun son (1) tenglamani qanoatlantirsa, _ holda

tenglikka ega bo'lamiz. Bundan _ sonning bo'luvchisi bo’lishi kerakligi kelib chiqadi. _ butun son chekli sondagi bo'luvchilarga ega bo’ladi. U holda (1) tenglamaning butun sonlardagi barcha yechimlarini chekli sondagi o’rniga qo’yishlar orqali topish mumkin bo’ladi, ya’ni tenglamadagi _ noma lum o’rniga a sonning barcha bo’luvchilarini navbatma‐navbat qo’yish va ular orasidan tenglamani qanoatlantiradiganlarini topish mumkin bo’ladi.

Misol:

_ (2)

tenglamaning butun ildizlarini topamiiz. _ soni 1, 2, 5, 10 sonlari bilan birgalikda _{  } -10 bo’luvchilarga ega. Shuning uchun (2) tenglamaning butun yechimlarini xuddi ana shu sonlar orasidan olamiz. Buning uchun bu sakkizta butun sonlarni navbatma‐navbat berilgan tenglamadagi noma’lum x o’rniga qo’yib chiqamiz. Hisoblash natijalari bu sonlar orasida faqatgina 1, 5, _ sonlarigina berilgan tenglamani qanoatlantirishini ko’rsatadi.

Misol 12. Quyidagi tenglamani olamiz:

Bu tenglamada _ ning o’rniga faqatgina 1 ning bo'luvchilarini, ya’ni 1 va _ sonlarini qo'yishimiz kerak bo'ladi. Hisoblashlar natijasida faqat _ soni berilgan tenglamani qanoatlantirishini aniqlaymiz.

(1) tenglamaning barcha ratsional ildizlarini qanday aniqlash mumkinligini ko’rsatamiz (bu usul (1) tenglamani xususiy holda, ya’ni butun sonlarda yechish imkonini beradi). Mulohazalardagi umumiylikka ziyon yetkazmaslik uchun _ deb hisoblaymiz.

Ko’p noma’lumli diofant tenglamalari

1. 
   chiziqli tenglamalar
   

Endi noma'lumlari soni bittadan ko'p bo'lgan va chiziqli tenglama deb nomlanuvchi

_ . . . _ (1)

ko’rinishdagi tenglamalarni qaraymiz, bunda _ birdan katta bo’lgan natural son, _{  } , _ va _ berilgan butun sonlardir. Avvalo, (1) tenglamada _{  } , _ koeffitsientlarning barchasinii natural sonlar, deb faraz qilish, nolga teng koeffitsientli hadlarni tashlab yuborish, manfiy koeffitsientlarni esa mos noma’lumlarning ishoralarini qarama‐qarshisiga almashtirish orqali absolyut qiymati jixatidan o’ziga teng bo’lgan musbat koeffitsientlar bilan almashtirish mumkinligini ta’kidlab o’tamiz. Agar _{  } , _ koeffitsientlardan ikkitasi o’zaro teng bo’lsa masalan, a₁=a₂ bo’lsa, u holda _ deb olib, (6) tenglama o’rniga

_{ } (2)

tenglamaga ega bo’lamiz.

Agar _ deb olsak, u holda (1) tenglamaning butun sonlardagi har bir _{  } , _ yechimlaridan (2) tenglamaning butun sonlardagi yechimlari _{ } , _ ni hosil qilamiz, (2) tenglamaning butun sonlardagi har bir _{ } , _ yechimlaridan esa _ sifatida ixtiyoriy butun sonni olib va x₂ (1) tenglamaning butun sonlardagi yechimlari _{  } , _ ni hosil qilamiz.

Demak, (1) tenglamaning butun sonlardagi barcha yechimlarini topish masalasi noma’lumlari soni kamroq bo’lgan (2) tenglamaning butun sonlardagi barcha yechimlarinii topishga olib kelindi. Bundan tashqari agar bunda _ yoki noma’lum oldidagi qandaydir boshqa ikkita koeffitsientlar o’zaro teng bo’lsa u holda tenglama _ tadan ham kam noma’lumli tenglamaga keltirilishi mumkin bo’ladi.

XULOSA

Hozirgi kunda ilmiy-texnikaviy taraqqiyot ishlab chiqarishning ko‘p sonli tarmoqlari bilan bir qatorda madaniyat sohasiga, ijtimoiy-gumanitar bilimlar doirasiga ham pedagogik texnologiyalarni chuqur tatbiq etishni taqozo etmoqda. Shuning uchun oliy ta’lim muassasalarida matematikani o‘rganishda zamonaviy o‘qitish metodlari bo‘lmish ilg‘or pedagogik texnologiyalardan foydalanish, interfaol metodlarning o‘rni beqiyos ekanligini tadqiqotlar asosida tajribalarimizda isbotlab, natijalarini yoritdik. Turli mavzulardagi dars ishlanmalarini namuna sifatida keltirdik. Barkamol avlodni tarbiyalash O‘zbekiston taraqqiyotini asosi bo‘lib davlat siyosatining ustuvor vazifasiga aylandi. Ko‘pincha o‘quvchilar u yoki bu ko‘rinishdagi tanglama va tengsizliklarni yechimlarini topish to‘g‘risida umumiy tushunchaga ega bo‘lsalarda, ammo yechimning geometrik ko‘rinishi (ya’ni grafigi) to‘g‘risida deyarli tasavvurga ega bo‘lmaydilar, ular faqat yechimning analitik yozuvidan foydalanadilar.

Ushbu kurs ishida koeffitsiyentlari butun sonlardan iborat bo’lgan algebraik tenglamalarning natural va butun ildizlarini topish usullari o’rganildi va tahlil qilindi. Bunda sonlar nazariyasining bir qator tushunchalari va usullaridan foydalanildi. Xususan, butun sonlarning bo’linish xossalari, tub va murakkab sonlar, butun sonning kanonik yoyilmasi, standart yozuvi, qoldiqli bo’lish, yevklid algoritmi, taqqoslamalar nazariyasi elementlaridan keng foydalanildi.

O‘quvchilarni grafik savodxonligi talab darajasida emas. Tenglama va tengsizliklarni grafik usulda yechish va yechimlarni sonlar to‘g‘ri chizig‘ida yoki tekislikda tasvirlash ancha qulaydir. Shuningdek tengsizliklarni yechimlarini analitik ko‘rinishida yozish hamda yechimni to‘g‘ri yoki noto‘g‘riligini tekshirib ko‘rish ancha murakkab va qiyindir. Vaholanki, ularning yechimlarini koorditalar tekisligida ko‘rsatish qulay va bu barcha noqulayliklarni oldini oladi.

Transtsendent tengsizliklarning barcha turlariga doir misollarni yechish uchun yetarli darajada teng kuchlilik sxemalari mavjud. Shulardan foydalanilgan holda tarkibida ko‘rsatkichli, logarifmik funksiyalar kirgan tengsizliklarning yechimlari to‘plami (ya’ni grafigi)ni kurs ishda iloji boricha ko‘rsatishga harakat qildik.

Ishda avval bir o’zgaruvchili, ixtiyoriy darajali diofant tenglamalarining butun va ratsional yechimlarini topish usullari, so’ngra ikki noma’lumli chiziqli tenglamalani yechish usullari batafsil bayon etildi, misollar keltirildi. So’ngra ko’p noma’lumli yuqori darajali tenglamalarning yechimi ma’lum bo’lgan bir qator ko’rinishlari o‘rganildi, yechimi haligacha noma’lum bo’lgan tenglamalar keltirildi.

Bundan tashqari, ayrim ko’rinishdagi tenglamalar bilan bog’liq tarixiy ma’lumotlar, ular bilan shug’ullangan klassik matematiklar hamda tenglamaning geometrik mazmuni talqin etildi. Yuqori darajali ko’p noma’lumli tenglamalarning ko’paytuvchilarga ajratish, sonning juft‐toqligidan foydalanish, taqqoslamalarni qo’llash va boshqa xususiy usullari bayon etildi, har bir usulga jamida 50 taga yaqin misollar keltirildi.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YHATI

1. 
   O‘zbekiston Respublikasining “Ta’lim to‘g‘risida” gi Qonuni. Barkamol avlod – O‘zbekiston taraqqiyotining poydevori. T., “Sharq”, 1997 yil.
   
2. 
   Azizxo‘jaeva N.N. O‘qituvchi mutaxassisligiga tayyorlash texnologiyasi. –T.: TDPU, 2000. – 52 b.
   
3. 
   Mahmudov M. O‘quv materialini didaktik loyihalash tizimi. “Pedagogik mahorat”, 2002 yil, 3-son, 3-11 betlar.
   
4. 
   Nishonova Z.T. Oliy maktab psixologiyasi. Toshkent, 2003y.
   
5. 
   Sayidahmedov N. Ta’limda harakatlantiruvchi kuch. “Ma’rifat”, 1998 yil, 16 yanvar.
   
6. 
   Tolipov O‘.Q., Usmonboeva M. Pedagogik texnologiyalarning tatbiqiy asoslari. –T.: Fan, 2006.
   
7. 
   M.Tojiev, K.Mamadaliyev Matematika o`qitish jarayonini loyihalash. Toshkent 2014