Формула Грина Пусть в плоскости

Формула Грина

Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функцияF=P(x,y)i+Q(x,y)jс непрерывными частными производными первого порядка ∂P∂y,∂Q∂x. Тогда справедлива формула Грина∬R(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∮CPdx+Qdy,где символ ∮C указывает, что кривая (контур) C является замкнутой, и обход при интегрировании вдоль этой кривой производится против часовой стрелки. Если Q=x, P=−y, то формула Грина принимает видS=∬Rdxdy=12∮Cxdy−ydx,где S − это площадь области R, ограниченной контуром C. Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля. Пусть векторное поле описывается функциейF=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k.Ротором или вихрем векторного поля F называется вектор, обозначаемый rotF или ∇×F и равныйrotF=∇×F=∣∣ ∣ ∣∣ijk∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣∣ ∣ ∣∣=(∂R∂y−∂Q∂z)i+(∂P∂z−∂R∂x)j+(∂Q∂x−∂P∂y)k.Формула Грина в векторной форме записывается в виде∬R(rotF)⋅kdxdy=∮CF⋅dr.Заметим, что формула Грина вытекает из теоремы Стокса при переходе от трехмерного случая к случаю двух координат.

Пример 1

Используя формулу Грина, вычислить интеграл ∮Cxydx+(x+y)dy, где кривая C − окружность радиуса R. Решение. Запишем компоненты векторного поля:P(x,y)=xy,Q(x,y)=x+y.С помощью формулы Грина∬R(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∮CPdx+Qdyпреобразуем криволинейный интеграл в двойной:I=∮Cxydx+(x+y)dy=∬R(∂(x+y)∂x−∂(xy)∂y)dxdy=∬R(1−x)dxdy.Переходя к полярным координатам, находим искомый интеграл:I=∫R(1−x)dxdy=2π∫01∫0(1−rcosθ)rdrdθ=2π∫0⎡⎢⎣1∫0(r−r2cosθ)dr⎤⎥⎦dθ=2π∫0[(r22−r33cosθ)∣∣∣1r=0]dθ=2π∫0(12−cosθ3)dθ=(θ2−sinθ3)∣∣∣2π0=π.

Пример 2

Используя формулу Грина, найти интеграл ∮C(x−y)dx+(x+y)dy, где кривая C представляет собой окружность, заданную уравнением x2+y2=a2. Решение. Сначала запишем компоненты векторного поляP=x−y,Q=x+yи определим частные производные:∂Q∂x=∂(x+y)∂x=1,∂P∂y=∂(x−y)∂x=−1.Следовательно, интеграл можно записать в следующем видеI=∮C(x−y)dx+(x+y)dy=∬R(1−(−1))dxdy=2∬Rdxdy.В последнем равенстве двойной интеграл ∬Rdxdy численно равен площади круга x2+y2=a2, то есть πa2. Тогда интеграл равенI=2∬Rdxdy=2πa2.

Пример 3

Используя формулу Грина, вычислить интеграл ∮Cx2ydx−xy2dy. Кривая C представляет собой окружность x2+y2=a2 (рисунок 1), обход которой производится против часовой стрелки. Решение. Запишем компоненты векторного поля и их производные:P(x,y)=x2y,Q(x,y)=−xy2,∂Q∂x=∂(−xy2)∂x=−y2,∂P∂y=∂(x2y)∂y=x2.ТогдаI=∮Cx2ydx−xy2dy=∬R(−y2−x2)dxdy=−∬R(x2+y2)dxdy,где R − круг радиуса a с центром в начале координат. Переходя к полярным координатам, находим искомый интеграл:I=−∬R(x2+y2)dxdy=−2π∫0dθa∫0(r2cos2θ+r2sin2θ)rdr=−2π∫0dθa∫0r3dr=−2π⋅[(r44)∣∣∣a0]=−πa42. Рис.1 Рис.2