Fundamental ketma-ketliklar. Koshi teoremasi
Download 4.22 Kb.
|
Fundamental ketma-ketliklar-hozir.org
|
Fundamental ketma-ketliklar Fundamental ketma-ketliklar. Koshi teoremasi.Reja: 1. Qismiy ketma-ketlik. 2. Bol’tsano-Veyershtrass teoremasi. 3. Koshi kriteriyasi (ketma-ketlikning yaqinlashuvchi bo’lishligining zaruriy va yetarli sharti) X sonli to’plam berilgan bo’lsin. Ta’rif. a nuqtaning ixtiyoriy atrofida X to’plamning a dan farqli kamida bitta nuqtasi mavjud bo’lsa, u holda a nuqta X to’plamning limit nuqtasi deyiladi. Ravshanki, a limit nuqtaning ixtiyoriy atrofida X to’plamning cheksiz ko’p nuqtalari mavjud bo’ladi. Misol.1. [0;5] to’plamning har bir nuqtasi uning limit nuqtasi bo’ladi, boshqa limit nuqtalari yo’q. 2. (0;5) interval uchun [0;5] segmentning barcha nuqtalari limit nuqta bo’ladi. Bu misollardan ko’rinadiki to’plamning limit nuqtasi uning elementi bo’lishi ham bo’lmasligi ham mumkin. 3. ={1,2,3,...,n,...} to’plam limit nuqtaga ega emas. Agar a - X to’plamning limit nuqtasi bo’lsa, u holda X to’plamdan a ga yaqinlashuvchi (xn) ketma-ketlik ajratib olish mumkinligini ko’rsatamiz (yani xn X, xn a). a nuqta X to’plamning limit nuqtasi bo’lganligi uchun a nuqtaning har bir (a-1/n; a+1/n ) atrofida X to’plamning a dan farqli kamida bitta xn nuqtasi mavjud. Ya’ni | xn -a|<1/n, n=1,2,... Ravshanki, ixtiyoriy >0 uchun shunday n0 topilib, barcha n>n0 larda 1/n< (ya’ni |xn-a|< ) bo’ladi. Bundan xn=a kelib chiqadi. Ixtiyoriy son uchun ( ) interval “nuqta”ning atrofi, ( ) interval - “nuqta”ning atrofi deyiladi. + ,- “nuqta”larning limit nuqta bo’lishi yuqoridagi singari ta’riflanadi. Bu holda ham xn =+ ( xn =- ) bo’ladigan (xn) ketma-ketlik ajratib olish mumkin. Qismiy ketma-ketlik. Bizga (xn) ketma-ketlik berilgan bo’lsin. Bu ketma-ketlikning n1 nomerli x , n2 nomerli x ,..., nk nomerli x va xakozo hadlarini olsak, x ,x ,..,x ,... ketma-ketlikka ega bo’lamiz. Bu yerda n123<... (x ) ketma-ketlik (xn) ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi deyiladi. Misol. 1, -1, 1, -1,...(-1)n+1, ... ketma-ketlik uchun 1, 1, 1, ... -1, -1, -1, ... larning har biri qismiy ketma-ketlik bo’ladi. Agar (xn) ketma-ketlik limitga ega bo’lsa, u holda (x ) qismiy ketma-ketlik ham o’sha limitga ega bo’ladi. Bu limit ta’riflardan kelib chiqadi. Aksincha, qismiy ketma-ketlik limitga ega bo’lishidan berilgan ketma-ketlikning limitga ega bo’lishi kelib chiqavermaydi. Masalan, limiti 1 ga teng bo’lgan 1, 1, 1, ..., 1, ... yaqinlashuvchi ketma-ketlik limitga ega bo’lmagan 1, -1, 1, -1, ..., (-1)n+1 , ... ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi bo’ladi. Izoh. Ketma-ketlikning qismiy limiti deb shunday son (yoki ∞ simvoliga Download 4.22 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|