Функцияларни яқинлаштириш

4.8-Mavzu: Funkstiyalarni yaqinlashtirish. Splaynlar bilan yaqinlashish (chiziqli, kvadratik va kubik).
Funkstiyani interpolyastion ko’phad yordamida yaqinlashtirish, ko’phad yuqori tartibli bo’lganda hisoblash xatoliklarining yig’ilib borishi natijasida yomon yaqinlashadi. Shuning uchun oraliqni kichik oraliqlarga ajratib har birida yaqinlashtiruvchi ko’phad qurish ancha yaxshi natija berishi aniqlandi. Har bir bo’lakda ko’phaddan iborat va ma’lum tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo’lgan funkstiya splayn deb aytiladi. Splayn yaqinlashtirish ko’phad bilan yaqilashtirishdan afzalligi shundan iboratki u:
birinchidan: funkstiyaga yaqinlashadi,
ikkinchidan: hisoblash jaryoni turg’undir.
Faraz qilamiz da aniqlangan uzluksiz funkstiya berilgan bo’lsin.

to’rni aniqlab, kabi belgilaymiz. funkstiyaga va tugun nuqtalarga mos splayn deb quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funkstiyaga aytiladi:
1) har bir segmentda funkstiya m- darajali ko’pxad;
2) funkstiya va uning m-1 tartibli hosilalari da uzluksiz;
3)
Oxirgi shart interpolyastiyalash shartlari deb aytiladi, splayn esa interpolyastiyalaydigan splayn deb aytiladi.
m=1 bo’lgan holda ning grafigi siniq chiziqdan iborat.
Splaynni tuzish uchun koeffisiyentlarni aniqlash kerak.
Chiziqli splaynning koeffisiyentlarini topish uchun f(x_i-1) va f(x_i) qiymatlar yetarli. 3) shartga asoslanib quyidagi sistemani tuzamiz:

va undan koeffisiyentlarni aniqlab chiziqli splaynni ko’rinishini aniqlab olamiz.
m>1 bo’lgan holda ni yagona bo’lishini taminlash uchun yana m-1 ta qo’shimcha shart qo’yilishi kerak.
Masalan: qismlarga ajratilgan jadval ko’rinishda berilgan f(x) funksiyani interpolyatsiyalovchi kvadratik splayn tuzilsin, u uchun 1)-3) shartlar va 4) shart bajarilsin.
1) har bir segmentda funkstiya 2- darajali ko’pxad;
2) funkstiya va uning 1- tartibli hosilalari da uzluksiz;
3)
4)
Yechish: Splaynni oraliqdagi bo’lagini topish uchun yuqoridagi shartlardan ushbu sistemani tuzamiz.

Sistemani yechib koeffisiyentlarni aniqlab
ni ko’rinishini aniqlaymiz.
Misol.
F(x) funksiya f `(1)=2 va jadval bilan berilgan

X	1	2	3	4
F	1	4	9	16

uni interpolyatsiyalovchi ikkinchi tartibli splayn tuzilsin va f(1.5), f(2.5) lar topilsin.
Yechish. [1,2] oraliq uchun dan

Sistemani yechib a₀=0, a₁=0, a₂=1 ni topamiz. Izlanayotgan ko’phad
S(x)=x² bo’ladi. Demak f(1.5)=2.25
Endi f(2.5) ni topamiz. Oraliq sifatida [2,3] ni olib f `(2) ni oldin topilgan S(x)=x<sup>2</sup> funksiyadan foydalanib f `(2)=S`(2) aniqlaymiz.
Bundan f `(2)=4 ekanligi kelib chiqadi.

Sistemani yechib a₀=0, a₁=0, a₂=1 ni topamiz. Izlanayotgan ko’phad
S(x)=x² bo’ladi. Demak f(2.5)=6.25

F(x) funksiya f `(1)=3 va f `(2)=12 jadval bilan berilgan

X	1	2	3
F	1	8	27

uni interpolyatsiyalovchi uchinchi tartibli splayn tuzilsin va f(1.5), topilsin.
Yechish. [1,2] oraliq uchun dan

Sistemani yechib a₀=0, a₁=0, a₂=0, a₃=1 ni topamiz. Izlanayotgan ko’phad

S(x)=x³ bo’ladi. Demak f(1.5)=3.375