Funksio n al qatorl ar. Funk sion al qato rnin g tekis yaqi nl ashishi

MA’RUZA 6  

FUNKSIO N AL QATORL AR.  FUNK SION AL QATO RNIN G TEKIS 

YAQI NL ASHISHI  

Maqsad: Talabalarda funksional qatorlar va ularning yaqinlashishi haqida ko’nikma hosil qilish 

Reja 

1. 

Funksional qatorlar. 

2. 

Tekis yaqinlashuvchi funksional qator. 

3. 

Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlarning xossalari. 

Tayanch  so’z  va  iboralar:  funksional  qator  tushunchasi,  tekis  yaqinlashuvchi  qatorlar,  tekis 

yaqinlashish sharti, tekis yaqinlashuvchi qatorning xossalari 

1.Funksional qatorlar. Hadlari funksiyalardan iborat bo‘lgan qatorlarni qaraymiz: 

                   (1) 

Bunday  qatorlar  funksional  qatorlar  deyiladi,  bu  yerda 

 

funksiyalarning hammasi biror chekli yoki cheksiz oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiyalar. 

(1) 

qatorning 

dastlabki 

n 

ta 

hadi 

yig‘indisi 

 va 

 funksiyani (1) qatorning 

xususiy yig‘indilari deb ataymiz. 

 

Xususiy yig‘indilar {S

n

(x)} ketma-ketligini qaraymiz. 

 

Ta’rif.  Agar  aniqlanish  sohasi 

  to‘plamdan  iborat  {S

n

(x)}  funksional  ketma-ketlik  D  

yaqinlashish sohasiga ega bo‘lib, bu sohada biror S(x) funksiyaga yaqinlashsa, ya’ni  

 

bo‘lsa,  (1)  qator  D  to‘plamda  yaqinlashuvchi  (har  bir  nuqtasida),  S(x)  esa  (1)  qatorning 

yig‘indisi deyiladi.  

Bu holda  

 

 

 

deb yoziladi. 

 

1-misol. 

 qator yaqinlashish sohasi va yig‘indisini toping. 

 

Yechish. 

 funksiyalar x=-n va x=-(n+1) 

nuqtalarda aniqlanmagan. Shu sababli bu qatorni 

 

 bo‘lgan nuqtalarda 

tekshiramiz. Qatorning umumiy hadini 

 deb yozib olish mumkin. 

Shu sababli 

 

   

Bundan 

 

      

. 

...

)

x

(

u

...

)

x

(

u

)

x

(

u

n









2

1

1

2

( ) ,

( ) , ...,

( ) , ...

n

u

x

u

x

u

x

1

2

( )

( )

( )

...

( ) (

2 , 3 , ...)

n

n

S

x

u

x

u

x

u

x

n











1

1

( )

( )

S

x

u

x



G

( )

lim

( )

n

n

S x

S

x

 



1

2

( )

( )

( )

...

( )

...

n

S x

u

x

u

x

u

x











1

1

(

) (

1)

n

n

x

n

x













1

( )

(

1, 2 , ...)

(

) (

1)

n

u

x

n

n

x

n

x











x

k

 

(

)

k



N

1

1

( )

1

n

u

x

n

x

n

x











1

1

1

( )

...

(1

) ( 2

)

( 2

) ( 3

)

(

) (

1)

1

1

1

1

1

1

1

1

(

)

(

)

...

(

)

1

2

2

3

1

1

1

n

S

x

x

x

x

x

n

x

n

x

x

x

x

x

n

x

n

x

x

n

x































































1

1

1

lim

( )

lim (

)

1

1

1

n

n

n

S

x

x

n

x

x

 

 















 

Demak, berilgan qator 

 

 nuqtalarda yaqinlashuvchi bo‘ladi va uning 

yig‘indisi 

 ga teng. 

Funksional  qatorlar  uchun  sonli  qatorlarning  asosiy  xossalaridan  kelib  chiqadigan 

quyidagi xossalar o‘rinli: 

1) Agar (1) qatorning  har  bir  hadini  noldan  farqli  songa  yoki  (1) qatorning yaqinlashish 

sohasida  noldan  farqli  qiymat  qabul  qiladigan  funksiyaga  ko‘paytirsak,  qatorning  yaqinlashish 

sohasi o‘zgarmaydi. 

2) 

(1) funksional qatorning bir nechta hadlarini olib tashlash yoki (1) qatorga chekli 

sondagi yangi hadlarni qo‘shish ((1) qator yaqinlashish sohasida aniqlangan) natijasida qatorning 

yaqinlashish sohasi o‘zgarmaydi. 

Agar 

  qator  absolyut  yaqinlashsa,  u  holda  (1)  qator  x

0

  nuqtada  absolyut 

yaqinlashuvchi  deyiladi.  Agar  (1)  qator  to‘plamining  har  bir  nuqtasida  absolyut  yaqinlashsa,  u 

holda qator shu to‘plamda absolyut yaqinlashuvchi deyiladi. 

 

2-misol. 

 qatorning yaqinlashish sohasini toping. 

 

Yechish.  x  argument  qiymatini  tayinlab  olamiz  va  umumiy  hadi 

  bo‘lgan 

yordamchi qatorni qaraymiz. Dalamber alomatiga ko‘ra x ning har bir qiymatida 

 

  bo‘ladi,  va  bundan   

  qatorning 

absolyut yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. 

 

Ixtiyoriy  x  uchun 

  bo‘lganligi  sababli,  taqqoslash  teoremasiga 

ko‘ra berilgan qator x ning ixtiyoriy qiymatida yaqinlashuvchi bo‘ladi. Shunday qilib, qatorning 

yaqinlashish sohasi 

 oraliqdan iborat. 

3-misol. Umumiy hadi u

n

(x)=n

3

x

2

 bo‘lgan qatorning yaqinlashish sohasini toping.  

 

Yechish.  x  ni  tayinlab  olamiz,  natijada  umumiy  hadi  u

n

=n

3

x

2 

  bo‘lgan  sonli  qatorga  ega 

bo‘lamiz.  Agar 

  bo‘lsa,  u  holda 

  bo‘ladi.  Demak,  

  bo‘lganda  qator  yaqinlashishining  zaruriy  sharti  bajarilmaydi  va  qator  uzoqlashuvchi 

bo‘ladi.  Agar  x=0  bo‘lsa,  u  holda 

, 

  bo‘lib,  qator  yig‘indisi 

  ga  teng  bo‘ladi.  Shunday  qilib,  qatorning  yaqinlashish  sohasi 

faqat bitta, x=0 nuqtadan iborat. 

 

Agar yuqoridagi qatorda x

2

 o‘rniga x

2

+4 ni qo‘ysak, u holda umumiy hadi u

n

(x)=n

3

(x

2

+4) 

qatorga ega bo‘lar edik. Bu qator ega hech bir nuqtada yaqinlashuvchi emas. Uning yaqinlashishi 

sohasi bo‘sh to‘plamdan iborat. 

4-misol. Ushbu 

 funksional qatorning yaqinlashish sohasini toping. 

 

Yechish:  x ning 

 har bir  qiymatida  sonli qator  hosil bo‘ladi. Bunga Dalamber 

alomatini tatbiq qilamiz (absolyut yaqinlashishga tekshirishdagi kabi): 

x

k

 

(

)

k



N

1

1

x



0

1

(

)

n

n

u

x







1

c o s

!

n

n

x

x

n







( )

!

n

n

x

v

x

n



1

1

lim

lim (

)

lim

0

(

1) !

!

1

n

n

n

n

n

n

n

x

v

x

x

v

n

n

n





 

 

 











1

!

n

n

x

n







c o s

!

!

n

n

n

x

x

x

v

n

n





(

;

)

   

0

x



3

2

3

li m

li m (

)

li m

n

n

n

n

u

n x

x

n

 

 

 





 

0

x



( 0 )

0 (

1, 2 ...)

n

u

n





( 0 )

0

n

S



( 0 )

lim

( 0 )

lim 0

0

n

n

n

S

S

 

 







1

( 1)

1

3

1

1

n

n

n

x

n

x



























(

1)

x

 

 

 

U holda 

 

  shartni  qanoatlantiruvchi  x  larda  berilgan  qator  absolyut  yaqinlashadi. 

 

shartni qanoatnlantiruvchi x larda qator uzoqlashadi. 

 shartni qanoatlantiradigan x larda 

va  l(x)    aniqlanmagan  nuqtalarda  qatorni  qo‘shimcha  tekshirish  lozim.  Bu  misolda 

 

bo‘lib,  x=-1  da  qator  aniqlanmagan,  x=1  da  esa  qator  faqat  0  dan  iborat  bo‘ladi,  absolyut 

yaqinlashadi.   

  tengsizlikni  yechib,  x>0  ni  hosil  qilamiz.  Demak,  qator  (0,+



)  da 

yaqinlashadi.  x=0  nuqtani  alohida  tekshirish  lozim.  x=0  da 

 

bo‘lib, bu qator shartli yaqinlashadi. 

 

Shunday  qilib,  berilgan  qator  yaqinlashadi.  Uning  yaqinlashish  sohasi 

  dan 

iborat. 

 

Yuqoridagi misolni yechishda Koshining radikal alomatidan ham foydalanish mumkin. 

 

5-misol. 

 qatorning yaqinlashish sohasini toping. 

 

Yechish: Dalamber alomatidan foydalanamiz: 

 

 

 

l(x) uchun hosil qilingan ifodalardan 

 va 

 da berilgan qatorning yaqinlashishi kelib 

chiqadi. x=0 bo‘lganda Dalamber alomatidan  foydalanib  bo‘lmaydi.  Ammo  bu holda  qatorning 

barcha hadlari 0 dan iborat, qatorning yaqinlashishi o‘z-o‘zidan ravshan. 

 da 

qator umumiy  hadi absolyut qiymati 0,5  ga teng,  demak,  qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.  Shunday 

qilib,  berilgan  qator 

,   

  shartlarni  qanoatlantiruvchi  nuqtalarda  absolyut 

yaqinlashuvchi bo‘ladi. 

 

6-misol. Qatorni 

 yaqinlashishga tekshiring. 

 

Yechish: Koshining radikal alomatidan foydalanamiz: 

 

1

1

1

( 1)

1

( 1)

1

( )

,

( )

3

2

1

3

1

1

n

n

n

n

n

n

x

x

u

x

u

x

n

x

n

x























































1

( )

3

1 1

1

( )

li m

li m

( )

3

2 1

1

n

n

n

n

u

x

n

x

x

l x

u

x

n

x

x



 

 



















1

1

1

x

x







( )

1

l x



( )

1

l x



1

x

 

( )

1

l x



1

1

1

( 1)

...

...

2

5

7

3

1

n

n

















[ 0 ;

)

 

2

1

1

n

n

n

x

x









1

1

2

2

2

( )

( )

li m

li m

:

( )

1

1

n

n

n

n

n

n

n

n

u

x

x

x

l x

u

x

x

x







 

 



























2

2

2

,

1,

1

li m

1,

1,

1

1

,

1

n

n

n

x

а г а р

x

x

x

а г а р

x

x

а г а р

x

x



 

































1

x



1

x



( )

1

1

l x

x

 

 

1

x



1

x



1

n

n

t g x

n







( )

li m

li m

n

n

n

n

n

t g x

t g x

l x

t g x

n

n

 

 







  da,  ya’ni   

  da  qator  absolyut  yaqinlashadi.  Bu  tengsizlik  yechimi 

.  Bu  intervallarning  chap  uchlarida  berilgan  qator  shartli 

yaqinlashuvchi, o‘ng uchlarida uzoqlashuvchi bo‘lishini tekshirish qiyin emas.   

 

 

2. Tekis yaqinlashuvchi funksional qator. 

 

Aytaylik,  

                                (1) 

funksional qator berilgan bo‘lsin. 

(1) qatorning dastlabki 

 ta hadi yig‘indisini 

 bo‘lsin. Agar bu qator x ning biror 

qiymatida yaqinlashsa, u holda 

 

 

 

 

=

+

 

bo‘ladi, bu yerda  

- qatorning yig‘indisi.  

 

=

 - qatorning qoldig‘i deyiladi. 

x ning barcha qiymatlari uchun qatorning D yaqinlashish sohasida  

 

 

 

 

=

 

munosabat  o‘rinli,  shu  sababli 

(

-

)=0  yoki 

=0,  ya’ni 

yaqinlashuvchi qatorning qoldig‘i 

 da nolga intiladi. 

Ta’rif.  Agar ixtiyoriy 



 musbat  son uchun 



 ga  bog‘liq, shunday 

 son  topilib, 

barcha 

 da D sohaga tegishli x lar uchun  

 

 

 

 

tengsizlik bajarilsa, (1) qator D sohada tekis yaqinlashuvchi qator deyiladi. 

7-misol. 

 nuqtalarni x>-1 da tekis yaqinlashishga tekshiring. 

 

Yechish. 

Berilgan 

qator 

x>-1 

da 

yaqinlashadi. 

Bu 

qator 

uchun 

 

ekanligini 

yuqorida 

ko‘rdik. 

Demak 

  va  masala  shartiga  ko‘ra  x+1>0,  shu  sababli 

  tengsizlik  o‘rinli. 

Endi  ixtiyoriy 



>0  son  uchun  n

0

=[1/



]  (yoki  agar 



>1  bo‘lsa,  1)  topiladiki,  barcha  n>  n

0

    da 

  tengsizlik  bajariladi.  Bundan  barcha  x>-1  da 

  ekanligi  kelib  chiqadi. 

Demak, berilgan qator x>-1da tekis yaqinlashadi ekan.  

Teorema (Veyershtrass alomati). Agar  

 

 

funksional  qatorning  hadlari 

  kesmada  absolyut  qiymati  bo‘yicha  biror  yaqinlashuvchi 

musbat ishorali  

                                       (2) 

qatorning mos hadlaridan katta bo‘lmasa , ya’ni  

( )

1

l x



1

tg x



(

,

) ,

4

4

n

n

n

















Z

...

)

x

(

u

...

)

x

(

u

)

x

(

u

n









2

1

n

)

x

(

S

n

)

x

(

S

)

x

(

S

n

)

x

(

r

n

)

x

(

S

)

x

(

r

n

...

)

x

(

u

)

x

(

u

n

n









2

1

li m

n

 

)

x

(

S

n

)

x

(

S

li m

n

 

)

x

(

S

)

x

(

S

n

li m

n

 

)

x

(

r

n





n

0

( )

0

n





0

n

n











)

x

(

S

)

x

(

S

|

)

x

(

r

|

n

n

1

1

(

) (

1)

n

n

x

n

x













1

1

1

( )

,

( )

1

1

1

n

S x

S

x

x

x

n

x















1

( )

1

n

r

x

n

x







1

( )

n

r

x

n



1

n





1

( )

n

r

x

n







...

)

x

(

u

...

)

x

(

u

)

x

(

u

n









2

1





b

,

a

...

с

...

с

с

n









2

1

       (

)                       (3) 

bo‘lsa, u holda berilgan funksional qator  

 kesmada tekis yaqinlashadi. 

Isbot. (2) qator yig‘indisini 

 bilan belgilaymiz: 

=

 

U holda  

=

+

 

bu yerda  

- n-xususiy yig‘indi, 

 esa bu qatorning n-qoldig‘i, ya’ni  

 

 

=

                (4) 

(2) qator yaqinlashuvchi bo‘lganligi uchun 

=

, demak,  

=0. 

Endi (1) funksional qator yig‘indisini  

 

 

=

+

 

ko‘rinishda yozamiz, bu yerda  

=

, 

=

 

(3) shartdan    

, 

, ... 

va  shu  sababli  (4)  ga  asosan  qaralayotgan  sohadan  olingan  barcha  x  lar  uchun 

 

tengsizlik bajariladi. Demak, (1) qator 

 da tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. 

(2) qator berilgan (1) funksional qator uchun majorant qator deyiladi. 

Izoh. Teoremada 

 kesma o‘rniga boshqa oraliqni olsak ham, teorema o‘rinli bo‘ladi. 

8-misol.  Ushbu 

 

 

 

 

funksional qatorni tekis yaqinlashishga tekshiring. 

Yechish.  x ning barcha haqiqiy qiymatlari  

 

 

 

 

tengsizlik  o‘rinli. 

  qator  esa  yaqinlashuvchi.  Demak,  Veyershtrass 

alomatiga ko‘ra berilgan qator (-



;+



) da tekis yaqinlashadi. 

 

  

9-misol. 

 qatorni [0;+



) da tekis yaqinlashishga tekshiring. 

Yechish. 

  da 

  qator  shartli  yaqinlashuvchi  ekanligini  ko‘rish  qiyin 

emas.  Bu  qator  uchun  majorant  qator  yo‘q.  Berilgan  qatorni  tekis  yaqinlashuvchi  ekanligini 

ko‘rsatish  uchun  ta’rifning  bajarilishini  ko‘rsatishimiz  lozim.  Buning  uchun  Leybnis 

teoremasidan foydalanamiz. Qatorning hadlari 

 da absolyut  qiymatlari bo‘yicha monoton 

kamayuvchi  va  n-hadi  n



  da  nolga  intiladi.  Shu  sababli,  qator 

  yarim  o‘qda 

n

n

c

)

x

(

u



1, 2 , 3 , ...

n







b

,

a





...

с

...

с

с

n









2

1



n



n



n



n



n



...

с

с

n

n









2

1





n

lim

n









n

lim

n



)

x

(

S

)

x

(

S

n

)

x

(

r

n

)

x

(

S

n

)

x

(

u

...

)

x

(

u

)

x

(

u

n







2

1

)

x

(

r

n

...

)

x

(

u

)

x

(

u

n

n









2

1

1

1







n

n

c

)

x

(

u

2

2







n

n

c

)

x

(

u

n

n

)

x

(

r









b

,

a





b

,

a

...

n

nx

sin

...

x

sin

x

sin









3

2

3

2

3

2

2

2

1

3

3

2

1

n

n

nx

sin



...

n

...









3

3

3

1

2

1

1

1

 













1

1

1

n

n

x

n

0



х

 













1

1

1

n

n

x

n

0



х

)

,

0

[



yaqinlashuvchi  va  qator  qoldig‘i  uchun 

  tengsizlik  o‘rinli.  x>0  da  

  ga  ega  bo‘lamiz,  bundan 

  oraliqdan  olingan  ixtiyoriy  x    uchun 

=0 shartning bajarilishi kelib chiqadi. Demak, qator tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. 

3.Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlarning xossalari. 

Tekis  yaqinlashuvchi  funksional  qatorlar  uchun  funksiyalar  chekli  yig‘indisi  xossalarini 

tatbiq qilish mumkin. 

1-teorema. Agar  

 

 

 

 

 

funksional  qatorning  har  bir  hadi 

  kesmada  uzluksiz  bo‘lib,  bu  funksional  qator 

 

kesmada  tekis  yaqinlashuvchi  bo‘lsa,  u  holda  qatorning  yig‘indisi 

  ham  shu  kesmada 

uzluksiz bo‘ladi. 

10-misol.  Ushbu 

  qatorning  yaqinlashish  sohasini  toping  va  yig‘indisini 

uzluksizlikka tekshiring. 

Yechish.  Berilgan  funksional  qatorning  yaqinlashish  sohasini  Koshi  alomatidan 

foydalanib topamiz. 

 

 

. 

Bundan 

  da  qator  yaqinlashuvchi  va 

  da  uzoqlashuvchi  ekanligi  kelib 

chiqadi. 

  nuqtalarda uzoqlashuvchi, chunki  

 

 

 

 

, 

qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilmaydi.  

Qator  yig‘indisi  S(x)  ni  (-1,1)  da  uzluksizlikka  tekshiramiz.  Buning  uchun  qatorni 

 bo‘lgan ixtiyoriy 

 kesmada tekis yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. 

  shartni  qanoatlantiruvchi  b  son  olamiz  va  shunday  n

0

  topiladiki, 

 

da 

 bo‘ladi. U holda 

 lar uchun  

 

 

 

tengsizlik bajariladi. 

Ravshanki, 

  qator 

  da  yaqinlashuvchi  (chunki  bu 

qator mahraji 

 bo‘lgan geometrik progressiya), shu sababli Veyershtrass alomatiga ko‘ra 

berilgan  qator  tekis  yaqinlashuvchi.  Demak,  S(x)  funksiya 

  kesmada  uzluksiz. 

Tanlashimizga ko‘ra   (

) ixtiyoriy, demak, S(x) funksiya (-1,1) da uzluksiz. 

 

2-teorema. (Qatorlarni hadlab integrallash)  Agar  

 

 

 

 

 

x

n

)

x

(

r

n







1

1

1

1





n

)

x

(

r

n

)

,

0

[



li m

n

 

)

x

(

r

n

...

)

x

(

u

...

)

x

(

u

)

x

(

u

n









2

1





b

,

a





b

,

a

)

x

(

S

2

1

1

n

n

x

n





















2

2

2

1

1

x

n

x

lim

n

x

lim

n

n

n

n









































1

2



x

1

2



x

1





x

0

1

1























e

n

lim

n

n

1

0





a





a

,

a



1

0







b

a

0

n

n



b

n

a





1

a

x



n

n

n

n

b

n

a

n

x

n

x

2

2

2

2

1

1

1

















































...

b

...

b

b

b

m











2

6

4

2





a

,

a



1

2



b





a

,

a



a

1

0





a

...

)

x

(

u

...

)

x

(

u

)

x

(

u

n









2

1

funksional  qatorning  har  bir  hadi 

  kesmada  uzluksiz  bo‘lib,  bu  funksional  qator 

 

kesmada tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda 

 

bo‘ladi. 

11-misol. 

  funksional  qator 

  da  tekis 

yaqinlashuvchi  va  uning  yig‘indisi 

  ga  teng.  Berilgan  qatorni  0  dan  x  gacha 

(x<1) hadlab integrallaymiz va quyidagi qatorga ega bo‘lamiz : 

 

 

 

Bu qator qator 

da tekis yaqinlashadi va uning yig‘indisi quyidagiga teng: 

 

 

  

Shunday qilib 

 da tekis yaqinlashuvchi  

                     (1) 

qatorga ega bo‘ldik. 

3-teorema. (Qatorlarni hadlab differensiallash ) 

Agar  

 

 

 

 

 

funksional qatorning har bir hadi 

 kesmada uzluksiz hosilalarga ega bo‘lib, bu hosilalardan 

tuzilgan  

 

qator  

 kesmada tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda berilgan funksional qatorning 

 

yig‘indisi shu 

 kesmada 

 hosilaga ega va 

=

  bo‘ladi. 

O‘z – o‘zini tekshirish uchun savollar 

1.  Funktsional qatorlar deb nimaga aytiladi? 

2.  Funktsional qatorning yaqinlashish sohasi nimadan iborat? 

3.  Funktsional qatorning qismiy yig‘indisi nimadan iborat? 

4.  Funktsional qator qoldig‘i deb nimaga aytiladi? 

5.  Funktsional qatorning tekis yaqinlashuvchi bo‘lishining Veyershtrass alomatini bayon qiling? 

6.  Funktsional qator xossalarini ta‘riflang? 

 

 

 

 





b

,

a





b

,

a

...

dx

)

x

(

u

...

dx

)

x

(

u

dx

)

x

(

u

dx

)

x

(

S

b

a

n

b

a

b

a

b

a



















2

1

...

x

)

(

...

х

х

n

n













2

4

2

1

1

1



x

2

1

1

x

)

x

(

S





...

n

x

)

(

...

x

x

x

n

n

















1

2

1

5

3

1

2

5

3

1



x

2

0

0

0

( )

1

x

x

x

d x

S x d x

a r c tg x

a r c tg x

x













1



x

...

n

x

)

(

...

x

x

x

arctgx

n

n



















1

2

1

5

3

1

2

5

3

...

)

x

(

u

...

)

x

(

u

)

x

(

u

n









2

1





b

,

a

...

)

x

(

'

u

...

)

x

(

'

u

)

x

(

'

u

n









2

1





b

,

a

)

x

(

S





b

,

a

)

x

(

'

S

)

x

(

'

S







1

n

'

n

)

x

(

u