Funksional analiz

1-teorema. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik faqat bitta limitga ega.
Isboti. Faraz qilaylik, {x_n} ketma-ketlikning limiti ikkita, ya’ni x_n^x va xn^y, x^y bo'lsin. U holda metrikaning uchburchak aksiomasiga ko'ra,
0 <p(x,y) < p(x,Xn)+ p(Xn,y)
bo‘ladi.
Ammo, bu tengsizlikning o‘ng tomoni n^x> da 0 ga intiladi, demak, p(x,y) =0, bundan x=y kelib chiqadi.
2-teorema. p(x,y) metrika x va y elementlarning uzluksiz funksiyasi, ya ’ni x_n ^x va y_n ~Xy bo‘lsa, u holda p(x_n ,yn) ^ p(x ,y) bo‘ladi.

(o‘quv qo‘llanma) 1
KIRISH 2
I-BOB. METRIK FAZOLAR 6
1.1.Metrik fazoning ta’rifi. 6
1, agar х ф у bo'lsa, 7
0, agar х= у bo'lsa 7
I x + y 9
2-§. Metrik fazoda ba’zi bir geometrik tushunchalar 10
2.1. Ochiq va yopiq sharlar, nuqtaning s atrofi 10
2.2.Chegaralangan to‘plam. 11
2.3.To‘plamning urinish, limit nuqtalari 11
2.4.To‘plamning yopilmasi 12
3-§. Metrik fazodagi ochiq va yopiq to‘plamlar 16
3.1.Yopiq to‘plam va uning xossalari, misollar. 16
3.2.Ochiq to‘plam va uning xossalari, misollar. 16
x+ y >5; 18
4-§. Metrik fazoda yaqinlashish tushunchasi 18
4.1.Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar. 18
4.2.Yaqinlashuvchi ketma-ketlik xossalari. 19
4.3.Ba’zi metrik fazolarda yaqinlashish tushunchasining ma’nolari. 22
5-§. Metrik fazolarda uzluksiz akslantirishlar 24
4.3.Uzluksiz akslantirishning xossalari. 25
6-§. To‘la metrik fazolar. To‘ldiruvchi fazo 28
6.2.To‘la metrik fazoning ta’rifi, misollar. 28
6.3.Ichma-ich joylashgan yopiq sharlar ketma-ketligi 29
6.4.To‘ldiruvchi fazo haqidagi teorema 30
7-§. Qisqartirib akslantirish prinsipi 34
7.1.Akslantirishning qo‘zg‘almas nuqtasi. 34
^ y = x + y + 1 34
7.2.Qisqartirib akslantirish. 34
7.3.Qisqartirib akslantirish prinsipi. 35
8-§. Qisqartirib akslantirishning tatbiqlari 37
8.1.Differensial va integral tenglamalarga tatbiqi 37
8.3.Matematik analizdagi tatbiqi. 40
i^xi - d < -^, 2 p 46
e 48
3-§. Separabel bo‘lmagan fazoga misol 49
1 - 49
- 49
!^p- , x0) < у ^{bo ladi}- 49
11r r2r 50
p(^, x ,) < a_n + - < p(^, x₀) + - < - + - < — 50
- - - 50
4-§. Metrik fazoda kompakt to‘plamlar 51
4.1.Kompakt to‘plam ta’rifi, misollar. 51
4.2.To‘plam kompakt bo‘lishining zaruriy shartlari. 51
4.3.n-o‘lchamli fazoda kompakt to‘plamlar 52
5-§. Kompaktlik kriteriyasi 56
s 56
6-§. C[a,b] fazodagi to‘plamning kompaktligi 59
^{f( (x} )| < k 59