Funksional qatorlar, tekis yaqinlashish

Funksional qatorlar, tekis yaqinlashish.
Reja:
1.Funksional qatorning tekis yaqinlashuvchiligi.
2.Funksional qator tekis yaqinlashishining zarur va yetarliligi.
3.Veyershtrass alomati.
to’plamda biror

funksional qator berilgan bo’lsin. Bu funksional qator to’plamda yaqinlashuvchi
bo’lib, uning yig’indisi bo’lsin. Demak, to’plamda

bo’ladi, bunda - berilgan funksional qatorning qismiy yig’indilardan iborat funksional ketma-ketlikdir.
Tarif. Agar to’plamda funksional qatorning qismiy yig’indilaridan iborat funksional ketma-katlik qator yig’indisi ga tekis yaqinlashsa, u holda bu funksional qator to’plamda tekis yaqinlashuvchi deb ataladi, aks holda, yani funksional ketma-ketlik, to’plamda ga tekis yaqinlashmasa, funksional qator to’plamda ga tekis yaqinlashmaydi deyiladi.
Shunday qilib, funksional qatorlarning tekis yaqinlashuvchiligi (yaqinlashmovchiligi) tushunchasi ham ularning oddiy yaqinlashuvchiligi singari,
funksional ketma-ketliklarning tekis yaqinlashuvchiligi (yaqinlashmovchiligi)
orqali kiritilgan.
Misollar. 1. Ushbu

funksional qatorni qaraylik. Bu qatorning yig’indisi
bo’lib, yig’indisi
.
Tarifga ko’ra, son olinganda deyilsa, barcha uchun

bo’ladi. Bundagi natural son ga hamda nuqtalarga bog’liq. Biroq deb

Ni olinsa, unda bo’lganda larda yuqoridagi tengsizlik bajarilaveradi. Demak, berilgan funksional qator uchun tarifdgi natural son barcha nuqtalari uchun umumiy bo’ladi, yani ga bog’liq bo’lmaydi. Demak, berilgan funksional qator yaqinlashuvchi.
2. Quyidagi

funksional qatorni qaraylik. Bu funksional qatorning qismiy yig’indisi

bo’lib, uning yig’indisi

Tarifga ko’ra, son olinganda deyilsa, barcha uchun

bo’ladi. Agar bo’lsa, ravshanki, uchun bo’lib

bo’ladi. Bunda natural son va nuqtalarga bog’liq bo’lib, u barcha nuqtalar uchun umumiy bo’la olmaydi ( bu holda ning da bo’yicha maksimumi chekli son emas).
Boshqach qilib aytganda, istalgan natural son olsak ham shunday (masalan, ) va nuqta topildiki,

bo’ladi.
Teorema. to’plamda funksional qator berilgan bo’lib, uning yig’indisi bo’lsin. Bu funksional qatorning da tekis yaqinlashuvchi bo’lishi uchun, uning qismiy yig’indilari ketma-ketligi ning da fundamental ketma-ketlik bo’lishi zarur va yetarli.
Bu teorema funksional ketma-ketlikning tekis yaqinlashish haqidagi Koshi teoremasi funksional qatorga nisbatan aytilishi bo’lib, uning isboti ham xuddi shunday.
Funksional qator

Ning tekis yaqinlashuvchi bo’lishi haqidagi tarif va funksional ketma-ketlikning tekis yaqinlashuvchi bo’lishning zarur va yetarli shartini ifodalovchi teoremadan foydalanib quyidagi teoremaga kelamiz.
Teorema. funksional qator to’plamda ga tekis yaqinlashshi uchun
bo’lishi zarur va yetarli.
Misol. Ushbu

Funksional qator da yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi

ekanini ko’rgan edik. Bu funksional qator uchun

bo’lib,

bo’ladi. Demak, berilgan qator oraliqda tekis yaqinlashuvchi emas.
Teorema. (Veyershtrass alomati). Agar ushbu

funksional qatorning har bir hadi to’plamda quyidagi

tengsizlikni qanoatlantirsa va

yaqinlashuvchi bo’ladi.
Isbot. Modomiki qator yaqinlashuvchi ekan, son olinganda ham, shunday topiladiki , barcha uchun

bo’ladi. tengsizlikdan foydalanib, to’plamning barcha nuqtalari uchun
bo’lishini topamiz. Bundan esa berilgan funksional qatorning to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’lishi kelib chiqadi.
Misollar. 1. Ushbu

Funksional qatorning tekis yaqinlashuvchiligi aniqlangan edi.Bu qatorning tekis yaqinlashuvchiligini Veyershtrass alomati yordamida osongina ko’rsatish mumkin. Xaqiqatdan ham,

Bo’lishi hamda

qatorning yaqinlashuvchiligidan berilgan funksional qatorning da tekis yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
2. Ushbu

Funksional qatorni qaraylik. Bu funksional qatorning umumiy hadi

funksiyadan iborat. Bu funksiyani oraliqda ekstremumga tekshiramiz funksiyaning hosilasi yagona nuqtada nolga aylanadi, -statsionar nuqta. Bu statsionar nuqta

boladi. Demak, funksiya nuqtada maksimumga erishadi. Uning maksimum qiymati esa ga teng. Demak da

bo’ladi. Agar qatorning yaqinlashuvchiligini etiborga olsak, unda Veyershtrass alomatiga ko’ra, berilgan funksional qatorning da tekis yaqinlashuvchi ekanini topamiz.