Funksiya differensiali uchun geometrik maʼnosi. Funksiya differensialining taqribiy hisobga tadbiqi reja


Download 77.33 Kb.
bet4/4
Sana31.01.2024
Hajmi77.33 Kb.
#1817720
1   2   3   4
Bog'liq
Funksiya differensiali uchun geometrik maʼnosi. Funksiya differensialining taqribiy hisobga tadbiqi

Differensial topish qoidalari. Funksiya differensiali ta`rifi va hosila topish qoidalaridan quyidagi tasdiqlarning o`rinli ekanligi kelib chiqadi:
a) Chekli sondagi differensiallanuvchi funksiyalar yig`indisining differensiali ularning differensiallari yig`indisiga teng.
Masalan, ikki funksiya yig`indisi uchun bu tasdiqni quyidagicha isbotlash mumkin: (I.4.1 ) formulaga ko`ra
d(u(x)+v(x))=(u(x)+v(x))`dx=(u`(x)+v`(x))dx==u`(x)dx+v`(x)dx =du+dv.
b) Quyidagi d(u(x)×v(x))= v(x)×du+u(x)×dv formula o`rinli.
Isboti. (I.4.2) va (2.2) formulalardan foydalanamiz. d(u(x)×v(x))=(u(x)×v(x))`dx=(u`(x)×v(x)+u(x)×v`(x))dx=
=(u`(x)dx)×v(x)+u(x)×(v`(x)dx)= v(x)×du+u(x)×dv.
v) Quyidagi d(Su(x))=Sdu formula o`rinli.
g) Bщlinmaning differensiali uchun quyidagi
d( )=
formula o`rinli.


2. Differensial formasining invariantligi.

Aytaylik y=f(x) funksiya x nuqtada differensiallanuvchi bo`lsin. Differensialning ta`rifiga ko`ra dy=yx`Dx, yoki erkli o`zgaruvchining orttirmasini dx kabi yozishga kelishganimizni e`tiborga olsak, dy=yx`dx edi.


Endi x erkli o`zgaruvchi emas, balki t erkli o`zgaruvchining differensiallanuvchi funksiyasi bo`lsin: x=j(t). U holda y=f(j(t))=g(t) funksiya t o`zgaruvchining murakkab funksiyasi va dy=yt`dt tenglik o`rinli bo`ladi. Lekin yt`=yx`xt`dt va dx=xt`dt larni e`tiborga olsak, dy=yx`dx formulaga ega bo`lamiz, ya`ni differensialning avvalgi ko`rinishiga qaytamiz.
Shunday qilib, differensial formasi o`zgarmadi, ya`ni funksiya differensialining formasi x erkli o`zgaruvchi bo`lganda ham, erksiz (oraliq) o`zgaruvchi bo`lganda ham bir xil ko`rinishda bo`ladi: differensial hosila va hosila qaysi o`zgaruvchi bo`yicha olinayotgan bo`lsa o`sha o`zgaruvchi differensiali ko`paytmasiga teng bo`ladi. Bu xossa differensial ko`rinishning invariantligi deyiladi. Shuni aytib o`tish lozimki, bu xossada faqat differensial formasining saqlanishi haqida gap boradi. Agar x erkli o`zgaruvchi bo`lsa, u holda dx=Dx; x erksiz o`zgaruvchi bo`lsa, u holda, umuman olganda, dx¹Dx bo`ladi.
Misol. berilgan. 1) x erkli o`zgaruvchi bo`lganda va 2) x=t5+t2-3 bo`lganda dy ni hisoblang.
Yechish. 1) (2.2) formulaga ko`ra

2) Differensial formasining invariantlik xossasidan foydalansak, bo`lib, ga ega bo`lamiz.

Yuqorida ta`kidlaganimizdek, x0 nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun Dy»f`(x0)dx, ya`ni Dy»dy taqribiy tenglik o`rinli. Shu taqribiy tenglik matematik analizning nazariy va tatbiqiy masalalarida muhim ahamiyatga ega bo`lib, differensialning mohiyatini belgilaydi. Yuqoridagi tenglikda Dy=f(x)-f(x0), Dx=x-x0 deb olsak, quyidagi tenglikka ega bo`lamiz:


f(x)-f(x0) »f`(x0)( x-x0) yoki
f(x) » f(x0)+f`(x0)( x-x0) (4.1)
(4.1) formula funksiya qiymatlarini taqribiy hisoblashda keng qo`llaniladi.
Masalan, f(x)= funksiya uchun quyidagi
(4.2)
formula o`rinli. Agar f(x)= funksiyaning x=0,98 dagi qiymatini hisoblash talab qilinsa, (4.2) formulada x=1, Dx=-0,02 deb olish yetarli. U holda bo`ladi. Agar kalkulyatorda hisoblasak, uni 10-6 aniqlikda 0,989949 teng ekanligi ko`rish mumkin. Demak, differensial yordamida hisoblaganda xatolik 0,001 dan katta emas. Umumiy holda differensial yordamida taqribiy hisoblashlardagi xatolikni baholash masalasini kelgusida o`rganamiz.
Download 77.33 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling