Funksiya differensiali uchun geometrik maʼnosi. Funksiya differensialining taqribiy hisobga tadbiqi reja

Differensialning geometrik ma`nosi. Endi xÎ(a;b) nuqtada diffyerensallanuvchi bo`lgan f(x) funksiyaning grafigi 18-rasmda ko`rsatilgan chiziqni ifodalasin deylik.
B u chiziqning (x,f(x)) va (x+Dx, f(x+Dx)) nuqtalarin mos ravishda M va K bilan belgilaylik. Unda MS=Dx, KS=Dy bo`ladi. f(x) funksiya x nuqtada chekli f`(x) hosilaga ega bo`lgani uchun f(x) funksiya grafigiga uning M(x,f(x)) nuqtasida o`tkazilgan ML urinma mavjud va bu urinmaning burchak koeffitsienti tgj=f`(x). Shu ML urinmaning KS bilan kesishgan nuqtasini E bilan belgilaylik. Ravshanki, DMES dan Bundan ES=MS×tgj=f`(x)Dx ekani kelib chiqadi. Demak, f(x) funksiyaning x nuqtadagi differensiali dy=f`(x)Dx funksiya grafigiga M(x,f(x)) nuqtada o`tkazilgan urinma orttirmasi ES ni ifodalaydi. Differensialning geometrik ma`nosi aynan shundan iborat.

18-rasm

Differensialning fizik ma`nosi.
Moddiy nuqta s=f(t), bu yerda s –bosib o`tilgan yo`l, t-vaqt,
f(t)-differensiallanuvchi funksiya, qonuniyat bilan to`g`ri chiziqli harakatlanayotgan bo`lsin.
Dt vaqt oralig`ida nuqta Ds=f(t+Dt)-f(t) yo`lni bosib o`tadi. Yo`lning bu orttirmasini
Ds=f`(t)Dt+a(Dt)Dt
ko`rinishda ifodalashimiz mumkin. Bu yo`lni nuqta biror o`zgaruvchan tezlik bilan bosib o`tgan. Agar Dt vaqt oralig`ida nuqta o`zgarmas f`(t) tezlik, ya`ni t vaqtdagi tezligiga teng tezlik bilan harakatlandi desak, bu holda bosib o`tilgan yo`l f`(t)Dt ga teng bo`ladi. Bu esa yo`lning differensialiga teng:
ds= f`(t)Dt.
1. Elementar funksiyalarning differensiallari. Differensial topish qoidalari. Differensial formasining invariantligi.

Elementar funksiyalarning hosilalarini bilgan holda ularning differensiallari uchun quyidagi formulalarni yozish mumkin:

1.d(x^m)=m×x^m–1dx (x>0);
2. d(a^x)=a^x×lna dx (a>0,a¹1);
3.d(log_ax)= ;xususan, .
4. d(sinx)=cosxdx;
5. d(cosx=-sinxdx;
6. d(tgx)= ;
7. d(ctgx)=- ;
8. d(arcsinx)= ;
9. d(arccosx)=- ;
10. d(arctgx)= dx;
11. d(arcctgx)=- dx .