Funksiya limitini tоpishda хоsilaning tatbiqi. Lоpital qоidasi. Diffеrеntsial hisоblashning asоsiy tеоrеmasi. Rоll, Lagranj, Kоshi tеоrеmasi

Lopital qoidalari

Agar nisbatdan iborat funksiyada surat va maxrajdagi funksiyalarning ikkalasi ham nuqtaning biror yaqin atrofida aniqlangan va xx₀ da cheksiz kichik yoki cheksiz katta bo‘lsa, yoki ko‘rinishdagi aniqmasliklarga ega bo‘lamiz. Bu aniqmasliklarni ochishda oddiy usullar bilan bir qatorda Lopital qoidalari deb ataluvchi hosila yordamida ochish usuli ham mavjud.
Teorema. Agar f(x) va g(x) funksiyalar x₀ nuqtaning qandaydir yaqin atrofida aniqlangan uzluksiz va differensiallanuvchi hamda g(x)0, bo‘lib, limit (chekli yoki cheksiz) mavjud bo‘lsa,
(1)
Agar teorema shartlari bajarilsa, (1) o‘rinli bo‘lib, uni xx₀ da aniqmaslikni ochishda Lopital qoidasi deb yuritiladi. Xuddi shunga o‘xshash, x da ham aniqmaslikni

tenglik yordamida oxirgi limit (chekli yoki cheksiz) mavjud bo‘lganda ochish mumkin.

3. 
   Misol: limit hisoblansin.
   

Bu yerda aniqmaslikka egamiz. Surat va maxrajdagi funksiyalar 0 nuqtaning qisqa atrofida yuqoridagi teorema shartlarini qanoatlantiradi.
f(x)=1–cosxf(x)=sinx, g(x)=x²g(x)=2x, g(x)0(x  0);

Demak, .

4. 
   Misol: ni hisoblang.
   

5. 
   Misol: ni hisoblang.
   

x+0x^.lnx0^. - aniqmaslikka egamiz.
ko‘rinishga keltirsak,
f(x)=lnx, g(x)=  ;
ya’ni, aniqmaslikni olamiz.

Demak , =0.

6. 
   Misol: ni hisoblang.
   

Yana aniqmaslikni oldik.

Demak, =. o‘rinli bo‘ladi.
Agar limitni hisoblashda
bo‘lsa, 0⁰ ;
bo‘lsa, 1^;
bo‘lganda esa, ⁰ ko‘rinishdagi aniqmasliklarga ega bo‘lamiz. Agar f(x)>0 bo‘lsa, ayniyat yordamida ularni 0^.  ko‘rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin.

7. 
   Misol: hisoblansin.
   

Bu yerda 0⁰ aniqmaslikka egamiz. .

= e⁰ = 1.
Auditoriyada bajariladigan misollar.

1. 
   funksiyaning ildizlari orasida funksiyaning hosilasi ildizi joylashishini tekshiring. Grafik yordamida izohlang.
   
2. 
   Poll teoremasi funksiyasi uchun [-1;1] kesmada o’rinlimi? Grafik asoslang.
   
3. 
   funksiya uchun [a;b] kesmada Lagranj formulasini yozing va с ni toping.
   
4. 
   [-1,2] kesmada Lagranj formulasini funksiyalar uchun o’rinli emasligini ko’rsating.
   
5. 
   funksiyalar uchun Koshi formulasini yozing va с ni toping.
   
6. 
   funksiya uchun [0;1] kesmada Lagranj formulasini yozing.
   
7. 
   funksiya uchun [0;π/2] kesmada Koshi formulasini yozing va с ni toping.
   

Lopital qoidasini qo’llab aniqmasliklarni oching:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   
   
9. 
   
   
10. 
    
    
11. 
    
    
12.