Funksiya nuqtada ekstremumga ega bo’lsa, u holda bu nuqtada va xususiy hosilalar nolga teng bo’ladi yoki ulardan aqalli bittasi mavjud bo’lmaydi. Isboti

2-teorema (ekstremum mavjud bo’lishining yetarli sharti). funksiya nuqtaning biror atrofida birinchi va ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo’lib, bunda hamda bo’lsin. U holda
a) agar bo’lsa, funksiya nuqtada
ekstremumga ega bo’lib, bunda (yoki ) bo’lganda nuqta maksimum nuqta, (yoki ) bo’lganda nuqta minimum nuqta bo’ladi;
b) agar bo’lsa, nuqtada ekstremum mavjud bo’lmaydi;
c) agar bo’lsa, nuqtada ekstremum mavjud bo’lishi
ham, mavjud bo’lmasligi ham mumkin.
Teoremani isbotini keltirmasdan, bu teoremaga (hamda 1-teoremaga) asoslangan algoritm bilan tanishamiz.
funksiyani ekstremumga tekshirish algoritmi:
, xususiy hosilalar topiladi;
Kritik nuqtalar aniqlanadi;
xususiy hosilalar topiladi;
hususiy hosilalarning kritik nuqtalardagi qiymatlari hisoblanadi;
Har bir kritik nuqtada ning qiymati hisoblanadi va 2-teorema asosida xulosa chiqariladi.
2-misol. funksiyani ekstremumga tekshiring.
Y e с h i s h. Funksiya tekslikda aniqlangan.
;

sistemani yechib, kritik nuqtalarni topamiz. Ular uchta:

Har bir kritik nuqtada ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni hisoblaymiz:
a) nuqtada
b) nuqtada
c) nuqtada
Har bir kritik nuqtada diskriminantni hisoblaymiz va 2-teorema asosida xulosa chiqaramiz:
a) Demak , nuqtada ekstremum mavjud emas;
b) , bunda Demak, nuqta minimum nuqta va
c) , bunda Demak, nuqta minimum nuqta va