Funksiya nuqtada ekstremumga ega bo’lsa, u holda bu nuqtada va xususiy hosilalar nolga teng bo’ladi yoki ulardan aqalli bittasi mavjud bo’lmaydi. Isboti

1.3.3. SHARTLI EKSTREMUM

M a’lumki, tekslikda egri chiziqni ifodalovchi tenglama fazoda yo’naltiruvchi egri chiziqdan iborat va yasovchilari o’qqa parallel bo’lgan silindrik sirtni ifodalaydi (12-shakl).

funksiya fazoda biror sirtni aniqlasin va silindrik sirt bu sirtdan qandaydir chiziqni ajratsin.
Bunda funksiyaning ajratilgan chiziqdagi maksimum va minimum nuqtalari bo’lishi mumkin.
Bu maksimum va minimumlar shartli ekstremumlar deb ataladi.
2-ta’rif. tenglama berilgan bo’lib, nuqta bu tenglamani qanoatlantirsin hamda funksiya nuqtaning biror atrofida aniqlangan va bu nuqtada uzluksiz bo’lsin. Agar bu atrofning tenglamani qanoatlantiruvchi barcha nuqtalarida tengsizlik bajarilsa, u holda nuqtaga funksiyaning shartli maksimum (shartli minimum) nuqtasi deyiladi.
Bunda tenglama bog’lanish tenglamasi deb ataladi, ekstremumga bog’lanish tenglamasi bilan bog’langanlik shartida erishiladigan ekstremum deyiladi.
Shartli ekstremumni topish uchun Lagranj ko’paytuvchilari usulidan foydalaniladi. Bu usulni ifodalovchi teoremani isbotsiz keltiramiz.
3-teorema. Agar nuqta funksiyaning tenglama bilan bog’langanlik shartidagi ekstremum nuqtasi bo’lsin, u holda shunday son
topiladiki, sonlar uchligi quyidagi sistemani qanoatlantiradi:
(1.22)
bu yerda Lagranj funksiyasi deb ataluvchi funksiya.
Bunda agar uchlik (1.22) sistemaning yechimi va

bo'lsa, u holda bo’lganda funksiya nuqtada shartli
maksimumga, bo’lganda shartli minimumga ega bo’ladi.
4-misol. funksiyaning va o’zgaruvchilar tenglama bilan bog’langanlik shartidagi ekstremumini toping.
Y e с h i s h. Lagranj funksiyasini tuzamiz:

Bundan

U holda

Sistemanidan ikkita va yechimlarni topamiz. Demak, shartli ekstremum nuqtalar.
Endi

ekanini inobatga olsak,

U holda: a) nuqtada . Demak, bu nuqtada funksiya shartli minimumga ega:
b) nuqtada . Dmak, bu nuqtada funksiya shartli maksimumga ega: