Funksiya nuqtada ekstremumga ega bo’lsa, u holda bu nuqtada va xususiy hosilalar nolga teng bo’ladi yoki ulardan aqalli bittasi mavjud bo’lmaydi. Isboti

1.3. BIR NECHA O’ZGARUVCHI FUNKSIYASINI EKSTREMUMGA TEKSHIRISH


1.3.1. BIR NECHA O’ZGARUVCHI FUNKSIYASINING EKSTREMUMLARI


1-ta’rif. funksiya nuqtada va uning biror atrofida uzluksiz bo’lsin. Agar bu atrofning barcha nuqtalarida tengsizlik bajarilsa nuqtaga funksiyaning maksimum (minimum) nuqtasi deyiladi.
Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalari ekstremum nuqtalar deb aytiladi.
Funksiyaning ekstrimum nuqtadagi qiymatiga funksiyaning ekstremumi deyiladi.
1-teorema (ekstremum mavjud bo’lishining zaruriy sharti). Agar funksiya nuqtada ekstremumga ega bo’lsa, u holda bu nuqtada va xususiy hosilalar nolga teng bo’ladi yoki ulardan aqalli bittasi mavjud bo’lmaydi.
Isboti. funksiya nuqtada ekstremumga ega bo’lsin. U holda u shu nuqtaning biror atrofida, xususan nuqtada ekstremumga erishadi, ya’ni nuqta bir o’zgaruvchining funksiyasi uchun ekstremum nuqta bo’ladi. Shu sababli funksiyaning hosilasi nuqtada nolga teng bo’ladi yoki mavjud bo’lmaydi. hosilaning nuqtada nolga teng bo’lishi yoki mavjud bo’lmasligi shu kabi isbotlanadi.
1-misol. funksiyaning ekstremumlarini toping.
Y e с h i s h. Xususiy hosilalarni topib, nolga tenglaymiz: , . Bundan , ya’ni nuqta ekstremum nuqta va nuqtalarda va
Demak, nuqta minimum nuqta va
nuqta funksiyaning ekstremum nuqtasi bo’lsin. U holda bo’ladi. Bu hosilalarni tenglama bilan berilgan
sirtga nuqtada o’tkazilgan urinma tekislikning ushbu

tenglamasiga qo’ysak, yoki kelib chiqadi.
Bundan ekstrimum nuqtalarida sirtga o’tkazilgan urinma tekislik Oxy koordinata tekisligiga parallel bo’ladi degan xulosa kelib chiqadi. Bu xulosa ikki o’zgaruvchi funksiyasi ekstremumi zaruriy shartining geometrik ma’nosini bildiradi.
Bundan tashqari funksiya differensiallanuvchi bo’lmagan nuqtalar ham uzluksiz funksiyaning ekstremum nuqtalari bo’lishi mumkin. Masalan, grafigi markazi koordinatalar boshida yotgan va o’qi o’q bilan ustma-ust tushuvchi doiraviy konusdan iborat bo’lgan funksiya nuqtada minimumga ega, ammo u bu nuqtada differensiallanuvchi emas.
Xususiy hosilalar nolga teng bo’ladigan nuqtalarga kritik nuqtalar deyiladi.
Ekstremum nuqta hamma vaqt kritik nuqta bo’ladi, ammo har qanday kritik nuqta
ham ekstremum nuqta bo’lmasligi mumkin. Masalan, funksiya uchun har ikkala xususiy hosila nuqtada nolga teng hamda
Bunda agar nuqtaga o’qi, ya’ni to’g’ri chiziq bo’ylab yaqinlashilsa va agar o’qi, ya’ni to’g’ri chiziq bo’ylab yaqinlashilsa .
Demak, nuqtaning istalgan atrofida bo’ladigan nuqtalar ham, bo’ladigan nuqtalar ham mavjud bo’ladi. Shu sababli nuqta maksimum ham minimum ham bo’lmaydi.
Shunday qilib, xususiy hosilalarning nolga teng bo’lishi ekstremum mavjud bo’lishining zaruriy sharti bo’ladi. Kritik nuqta ekstremum nuqta bo’lishi uchun ekstremum mavjud bo’lishining yetarli sharti bajarilishi lozim.