Cheva teoremasi va uning tatbiqi

Cheva teoremasi va uning tatbiqi
Agar O nuqta ABC uchburchakning ichki sohasida yotuvchi ixtiyoriy nuqta bo’lsa AO, BO, CO to’g’ri chiziqlar uchburchakning BC, CA, AB tomonlarini mos ravishda nuqtalarda kessa , ushbu munosabat o’rinlidir.
10-shakilda ko’rsatilgan kabi to’g’ri chiziqlar ABC uchburchakni umumiy uchlari O nuqtada bo’lgan oltita uchburchakka ajratadi . Ularning yuzlarini bilan belgilaylik.
A =



B C
A va AA C uchburchaklar teng balandlikka ega bo’lganidan ,yuzalarining nisbati va asoslarining nisbatiga tengdir.
Shunga o’xshash va uchburchaklar yuzining nisbati va asoslarining nisbatiga teng, ya’ni :

Yoki


Bu so’nggi ikki proporsiyadan quyidagi proporsiya kelib chiqadi:

Yoki:


Shunga o’xshash :




Agar (2), (3) va (4) tengliklarni hadlab ko’paytirsak , (1) munosabat hosil bo’ladi.
Chevaning teskari teoremasi .
Agar ABC uchburchakning AB, BC, CA tomonlari mos ravishda olingan
nuqtalar uchun

Bo’lsa , to’g’ri chiziqlar o’zaro bir nuqtada kesishadi .
va to’g’ri chiziqlar bir birini O nuqtada kesib ,CO to’g’ri chiziq uchburchakning AB tomonini nuqtada kessa , unda Cheva teoremasiga asosan :

(5) va (6) ga ko’ra


Dmak , nuqta nuqta bilan ustma –ust tushadi ,shu bilan teorema isbot bo’ldi.
Isbot qilingan cheva teoremasi va cheva teoremasining teskari teoremalari kesishish nuqtasi O uchburchak tashqarisida (uning tekisligida ) bo’lgan hol uchun ham umumlashtirish mumkin .Bunda nuqtalardan bazilari uchburchak tomonlari davomida yotadi.
Cheva teoremasi odatda berilgan uch to’g’ri chiziqning bir nuqtada kesishini isbot etishda yoki uch to’g’ri chiziqdan har biri uchburchakning biror uchidan chiqib ,uchburchak tekisligida yotgan umumiy bir nuqtadan o’tib ,uchburchak tomonlarini kesganda xosil bo’lgan kesmalar orasidagi nisbatlarni aniqlashda ishlatiladi.