Cheva teoremasi va uning tatbiqi

Cheva teoremasining tatbiqi.
Uchburchak burchaklarining uchlaridan o’tuvchi va qarshi tomonlari yon tomonlarining n-darajalari nisbatlariga teng nisbatda bo’luvchi to’g’ri chiziqlar bir nuqtada kesishishi isbot qilinsi.
1-shakildan :

Bu tenglikni hadlab ko’paytirsak :

Xosil bo’ladi . Demak, Cheva teoremasiga binoan to’g’ri chiziqlar bir nuqtada kesishadi.
Agar n=0 bo’lsa , u holda nuqtalar uchburchak tomonlarining o’rtasida yotib to’g’ri chiziqlar uchburchak medianalari bir nuqtada kesishadi.Bu teoremaning xususiy holi bo’ladi . Agar n=1 bo’lsa , lar uchburchakning bissiktirissalari bo’ladi , ular bitta nuqtada kesishadi.
A A



B C B C
1-shakl 2-shakl

Uchburchakning uchidan o’tuvchi to’g’ri chiziq uning tomonini qolgan ikki tomon kvadratlarining nisbati kabi nisbatdagi kesmalarga bo’lsa bu to’g’ri chiziq uchburchakning simedianasi deyiladi.Teoremaga ko’ra uchburchakning simedianasi bir nuqtada kesishadi .

Simediananing kesishish nuqtasi Lemuan nuqtasi deyiladi.
Aylanaga tashqi chizilgan ABC uchburchakning BC , CA , AB tomonlari aylanaga mos ravishda nuqtalarda urinadi. to’gri chiziqlarning bir nuqtada kesishini isbot qilish kerak. (2-shakl)
lar bir nuqtada o’tkazilgan urunmalar bo’lganidan o’zaro teng. Shuning kabi ; demak :


Shu bilan teorema isbot qilindi.
Markazlari A , B , C nuqtalarda bo’lgan aylanalar juft-jufti bilan o’zaro tashqi urinadi; B va C aylana aylana nuqtada , A va C aylana nuqtada , A va B lar nuqtada urinadi. to’g’ri chiziqlar bir nuqtada kesishini isbot qilish kerak.




A



B
(3) shakl

Shuning uchun

Tenglikdan

Bu so’nggi tenglikdagi Menalay teoremasiga binoan nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotishi kelib chiqdi.


C
B (4)-shakl

Uchburchak uchlaridan tashqi chizilgan aylanaga o’tkazilgan urinmalarning qarshi tomonlarining davomi bilan kesishgan nuqtalari kollinerdir.

ABC uchburchakning A , B , C uchlaridan tashqi chizilgan aylanaga o’tkazilgan urunmalar BC , CA , AB mos tomonlarining davomlarini nuqtalarda kessin (4-shakl) . uchburchakning o’xshashligini nazarga olsak , birinchi uchburchak ,AB=C tomonlarining ikkinchi uchburchak , AC=b tomonlariga nisbatidan :

Bundan va bo’lganidan :

Oxirgi tengliklarni hadlab ko’paytirsak :

Shunga o’xshash :

(7) va (8) tengliklardan :

bo’lib , teorema isbot qilindi.

Namuna misollar:

1-misol
Uchburchak bissektrisalari bir nuqtada kesishishini isbotlang.
uchburchak berilgan. -lar uchburchakning bissektrissalari. bissektrissalarning bir nuqtada kesishishini isbotlang.
B

A C

1) Uchburchakning bissektrissasi qarshisidagi tomonini kesmalarga ajratadi va ular o`zining yopishgan tomoni bilan nisbatlari teng. Ya`ni:
– ning bissektrissasi ekanligidan:
(1)
– ning bissektrissasi ekanligidan:
(2)
– ning bissektrissasi ekanligidan:
(3)
(3),(1) va (2) larni ko’paytirib quyidagiga ega bo’lamiz

Buyerda Cheva teoremasiga ko`ra , ning - bissektrissalari bir nuqtada kesishadi. – O nuqtada.
2-misol
Uchburchakning medianalari bir nuqtada kesishadi, kesishish nuqtasida uchidan boshlab 2:1 nisbatda bo`ladi.
medianalari berilgan.
1) ning medianalari O nuqtada kesishishini isbotlang.

C



O
A B

1. 
   Shartga ko`ra – uchburchakning medianalari, bundan , , B , A shuning uchun:
   

=
Demak,

Bu yerda Cheva va Menelay teormasiga ko`rauchburchakningmedianalari bir nuqtada kesishadi – O nuqtada.

2) uchburchakka qaraymiz.

to`gri chiziq uchburchakning ikki tomonini kesadi. (B , ) va (A –nuqta, B ), demak ,Menelay teoremasiga ko`ra:

=1;
;
Demak,

3)Menelay teoremasiga ko`ra uchburchakning C kesuvchisi, bundan:


Kelib chiqadi.
Demak, Cuchburchakning medianalari bir nuqtada kesishadi va kesishgan nuqtasida uchidan boshlab 2:1 nibatdabo`ladi.
Nazorat savollar
1-masala ABC uchburchakning AM medianasi bilan BN bissektrisasi P nuqtada kesishadi.CP va AB to’g’ri chiziqlar Q nuqtada kesishadi. BNQ uchburchak teng yonli ekanligini isbotlang.
2-masala ABC uchburchakda BE mediana.
AB tomondan D nuqta olingan va AD=2DB. CD va BE kesmalar F nuqtada kesishadi.
Agar CFE uchburchakning yuzi 8 ga teng bo’lsa, ABC uchburchak yuzini toping.
3-masala ABC uchburchakda AC tomonga
BE, AB tomonga CD chiziqlar tushirilgan va ular T nuqtada kesishadi.
Agar |𝐴𝐶| = 2|𝐴𝐸|,
2 ∙ |𝐴𝐷| = 3 ∙ |𝐷𝐵| bo’lsa,
ni toping?
4-masala ΔABC ga ichki chizilgan aylana BC, CA, AB tomonlarga mos ravishda
D, E, F nuqtalarda urinadi. Isbotlang: AD, BE, CF to’g’ri chiziqlar O nuqtada
kesishadi va bu nuqta Jergonn nuqtasi deyiladi.
5-masala (O’qituvchilar olimpiadasi. Qashqadaryo) ABC uchburchakning
AB,AC va BC tomonlarida mos ravishda F,E va D nuqtalar olingnki, bunda AD,BE va
CF to’g’ri chiziqlar P nuqtada kesishadi. U holda quyidagi ifodaning qiymatini toping:
=?

6-masala ABC uchburchakda maydoni 6 ga teng, AB tomonida K nuqta olinadi, bu tomonni AK:BK = 2:3 nisbatiga, AC tomonida esa ACni ga bo'ladigan L nuqtaga bo'linadi. nisbati AL: LC = 5: 3. SK va BL chiziqlarning kesishish nuqtasi Q AB chizig'idan uzoqda chiqariladi. AB tomonining uzunligini toping.

7-masala ABC uchburchakning AC tomonida K nuqta olinadi.AK = 1, KS = 3. L nuqta AB tomonida olinadi.AL:LV = 2:3, Q - BK va CL to`g`rilarning kesishish nuqtasi. B cho'qqisidan tushirilgan ABC uchburchak balandligi uzunligini toping

8-masala ∆ABC da AD bissektrisa BC tomonini 2:1 nisbatda ajratadi CE medianasi bu bissektrisani qanday nisbatda ajratadi?

9-masala AB va BC ∆ABC tomonlarida mos ravishda M va N nuqtalar berilgan, shundayki quyidagi tengliklar bajariladi:
AM MB = CN NA = 1 2
BN va CM segmentlarining kesishish nuqtasi S bu segmentlarning har birini qanday nisbatda ajratadi

10-masala Uchburchak tomonlari 5,6,7. Katta burchak bissektrisasi bissektrisalarning kesishishgan nuqtasi orqali uchburchak uchidan boshlab qanday nisbatda bo’linadi?

11-masala Teng yonli uchburchakning yon tomoniga o’tkazilgan bissektrisasi teng ikkiga bo’ladi. Agar bissektrisasi 2ga teng bo’lsa, asosiga o’tkazilgan medianani toping.
12-masala Medianalari 13,14,15 bo’lgan uchburchak yuzini toping.
13-masala Uchburchak ikki tomoni va ular orasidagi burchak bissektrisasi mos ravishda 10,15,6 bo’lsa, uchinchi tomon uzunligini toping.
14-masala Tomonlari 6 va 8 bo’lgan uchburchakning shu tomonlariga o’tkazilgan medianalari o’zaro perpendikulyar. Uchburchakning uchinchi tomonini toping.
15-masala Tomonlari 5,9,  bo’lgan uchburchakning eng kichik balandligini toping.
16-masala Tomonlari 5, 7,  bo’lgan uchburchakning kattaligi bo’yicha o’rtacha tomoniga o’tkazilgan medianasini toping.
17-masala Tomonlari 3,5,7 bo’lgan uchburchakning eng katta tomoniga o’tkazilgan bissektrisasini toping.
18-masala ABC uchburchakda CD mediana o’tkazilgan. Agar CD AC va AC=CD=a bo’lsa, CB tomon uzunligini toping.
19-masala Uchburchak tomonlari 1:2 nisbatda. Ular orasidagi burchak  bo’lsa, uchburchak turini aniqlang.


20-masala Uchburchakning ikki tomoni 3:8 nisbatda, ular orasidagi burchak  teng. Uchinchi tomon 21 bo’lsa, qolgan tomonlarni toping.