Funksiya va uning berilish usullari. Elementar funksiyalar va ularning grafiklari

---

Funksiya va uning berilish
usullari.Elementar
funksiyalar va ularning
grafiklari.
XOLMAMATOVA MASHHURA

---

Reja:
1. Funksiyaning ta’rifi.
2. Funksiyaning berilish usullari
3. Jadval usuli
4. Grafik usuli
5. So‘zlar orqali ifodalanadigan usul
6. Funksiyaning aniqlanish sohasi
7. Elementar funksiyalar va ularning grafiklari

---

Funksiyaning ta’rifi.
X va Y haqiqiy sonlar to‘plami berilgan bo‘lib, ular R
1
ning bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plamlari (X∈
R
1
x va y lar esa, mos ravishda, ularning elementlari x ∈ 𝑋, y ∈ 𝑌 bo
′
lsin.
Ta’rif. Agar X to’plamdagi har bir x songa biror qoida yoki qonunga ko’ra Y to’plamdan bitta y son
mos qo’yilsa, X to’plamda y funksiya berilgan(aniqlangan) deb ataladi va u simvolik ravishda f:x→
𝑦 𝑦𝑜𝑘𝑖 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑘𝑎𝑏𝑖 𝑏𝑒𝑙𝑔𝑖𝑙𝑎𝑛𝑎𝑑𝑖.
Bunda x-argument yoki erkli o’zgaruvchi, y –funksiya yoki erksiz o’zgaruvchi, f-
xarakteristika(qonun yoki qoida); X to’plam funksiyaning aniqlanish sohasi, Y={y: y=f(x), x∈
𝑋) 𝑡𝑜′𝑝𝑙𝑎𝑚 𝑒𝑠𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑞𝑖𝑦𝑚𝑎𝑡𝑙𝑎𝑟𝑖 𝑡𝑜′𝑝𝑙𝑎𝑚𝑖 (𝑜
′
𝑧𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠ℎ 𝑠𝑜ℎ𝑎𝑠𝑖) 𝑑𝑒𝑦𝑖𝑙𝑎𝑑𝑖.

---

Funksiyaning berilish usullari
.Funksiya umumiy holda analitik, jadval, grafik va so‘z usullari bilan berilishi
mumkin. Analitik usul. Ko‘pincha xvay o'zgaruvchilar orasidagi bog'lanish
formulalar yordamida ifodalanadi. Bunda argument x ning har bir qiymatiga mos
keladigan funksiyaning у qiymati x ustida analitik amallar — qo‘shish, ayirish, 
ko‘paytirish, bo‘lish, darajaga ko'tarish, ildizdan chiqarish, logarifmlash va h.k. 
amallami bajarish natijasida topiladi. Odatda, bunday usul funksiyaning analitik
usulda berilishi deyiladi. 
Funksiya analitik usulda quyidagi ko‘rinishlarda berilishi mumkin. 1) v=g(x) yoki
x=g(y) ko‘rinishdagi formulalar bilan berilgan funksiyalar oshkor ko‘rinishda
berilgan funksiyalar deyiladi. Masalan, y=6x— 2, j>=x
2
+lnx funksiyalar oshkor
ko‘rinishda berilgan. Analitik usulda berilgan funksiya bir nechta formulalar
vositasida yozilishi ham mumkin, masalan:
Bu funksiyaning aniqlanish sohasi [-πr;2] bo‘lib, u 
uchta formula yordamida berilgan.

---

2)Agar x va у o‘zgaruvchilar qandaydir F(x,y)=0 tenglama bilan bog‘langan, ya‘ni tenglama у ga
nisbatan yechilmagan bo'lsa, u holda funksiya oshkormas kо ‘rinishda berilgan deyiladi. Masalan, 
x
2
+y
2
-R
2
=0 tenglama oshkormas shaklda berilgan funksiyani ifodalaydi, uni у ga nisbatan yechish
natijasida ikkita funksiyani hosil qilamiz:
◦
Y=± 𝑅
2
− 𝑥
2
◦
Ba’zi bir oshkormas ko‘rinishdagi funksiyalarni y = f(x ) (oshkor) ko‘rinishda ifodalash ham mumkin. Har
qanday oshkor ko‘rinishdagi y=f(x) funksiyani oshkormas ko‘rinishda yozish ham mumkin: у —f (x)=0.

---

Jadval usuli
Ba‘zi hollarda x∈X va y ∈ Y o‘zgaruvchilar orasidagi bog’lanish formulalar yordamida
berilmasdan, balki jadval orqali berilgan bo‘lishi ham mumkin. Masalan, t — yanvar oyining
birinchi dekadasi (10 kunligi) kunlari nomeri bo'lsa, T — shu nomerli kuni soat 16
00
da 
Samarqand shahrida kuzatilgan havo haroratini bildirsin, natijada quyidagi jadvalga kelamiz:
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
T
-3
0
-5
0
+2
0
+5
0
+1
0
0
0
-2
0
-5
0
-3
0
-1
0
bunda t — argument, T — funksiya bo‘ladi. Bog’lanishning bunday berilishi
funksiyaning jadval usulda berilishi deb ataladi. Bu usuldan ko‘pincha miqdorlar
orasida tajribalar o‘tkazish jarayonida foydalaniladi. 
Jadval usulining qulayligi shundan iboratki, argumentning u yoki bu aniq
qiymatlarida, funksiyani hisoblamasdan, uning qiymatlarini aniqlash mumkin. 
Jadval usulining qulay bo‘lmagan tomoni shundan iboratki, argumentning
o‘zgarishi bilan funksiyaning o‘zgarish xarakterini to‘liq aniqlab bo‘lmaydi.

---

Grafik usuli
xOy koordinata tekisligida x ning X to‘plam (X =D (f)) dan olingan har bir qiymati uchun M (x,y) 
nuqta yasaladi, bunda nuqtaning abssissasi x, ordinatasi у esa funksiyaning x ga mos kelgan
qiymatiga teng. Yasalgan nuqtalarni tutashtirsak, natijada biror chiziq hosil boiadi, hosil bo‘lgan
bu chiziqni berilgan funksiyaning grafigi deb qaraladi
ta‘rif. Tekislikning (x, J[x)) kabi aniqlangan nuqtalaridan iborat ushbu
{(x,f(x))}={(x,f(x):x∈ 𝑋, 𝑦 =f(x)∈ 𝑌}
To’plam funksiyaning grafigi deb ataladi.

---

Grafik usuli
xOy tekisligida shunday L chiziq berilgan bo‘lsin, Ox o‘qda joylashgan nuqtalardan shu o‘qqa o‘tkazilgan perpendikular L 
chiziqni faqat bitta nuqtada kesib o‘tsin. 
Ox o'qdagi bunday nuqtalardan iborat to‘plamni X orqali belgilaymiz. X to‘plamdan ixtiyoriy x ni olib, bu nuqtadan Ox o‘qiga
perpendikular o‘tkazamiz. Bu perpendikularning L chiziq bilan kesishgan nuqtasini у bilan belgilaymiz. Natijada X 
to‘plamdan olingan har bir x ga yuqorida ko'rsatilgan qoidaga ko‘ra bitta у mos qo‘yilib, funksiya hosil boladi. Bunda x va y 
o‘zgaruvchilar orasidagi bog'lanish L chiziq yordamida berilgan bo‘ladi. Odatda funksiyaning bunday berilishi uning grafik
usulda berilishi deb ataladi. Funksiyaning grafik usulda berilishi ilmiy tadqiqotlarda va hozirgi zamon ishlab chiqarishi
jarayonlarida keng qo'llaniladi. Masalan, tibbiyotda uchraydigan elektrokardiogramma grafigi—yurak muskullaridagi tok
impulslarining vaqt bo‘yicha o'zgarishini ko‘rsatadi. Bu grafik analitik tarzda yozilishi shart bo‘lmagan biror У =f(x ) 
funksiyaning grafigidir, bu funksiyaning formulasi shifokor uchun unchalik qiziqarli emas. Funksiyaning grafik usulda
berilishining kamchiligi shundan iboratki, argumentning sonli qiymatida berilgan funksiyaning aniq ko'rinishini har doim
topib bo'lavermaydi, lekin bu usulning boshqa usullardan afzalligi uning ta‘siri yaqqol ko‘zga ko‘rinib turishidadir

---

So‘zlar orqali ifodalanadigan usul.
Bu usulda (x∈X, y ∈ Y) o‘zgaruvchilar orasidagi funksional bog‘lanish faqat so‘zlar orqali
ifodalanadi. 1- misol. Har bir ratsional songa 1 ni, har bir irratsional songa 0 ni mos qo‘yish
natijasida ham funksiya hosil bo‘ladi. Bu funksiya, odatda, Dirixle funksiyasi deyiladi va D(x) kabi
belgilanadi:
1- misol. Har bir ratsional songa 1 ni, har bir irratsional songa 0 ni mos qo‘yish natijasida ham 
funksiya hosil bo‘ladi. Bu funksiya, odatda, Dirixle funksiyasi deyiladi va D(x) kabi belgilanadi:
2- misol. f — har bir x haqiqiy songa uning butun qismi [x] ni mos qo‘yuvchi qoida bo‘lsin. 
Demak, f : x→[x] yoki y = [x] funksiyaga ega bo‘lamiz. 
3- misol. f — har bir haqiqiy x songa uning kasr qismi {x} ni mos qo'yadigan qoida bo‘lsin, ya‘ni f: 
x->{x}. Bu holda biz y={x} funksiyaga ega bo‘lamiz.

---

Funksiyaning aniqlanish sohasi.
3- ta‘rif. Argumentning funksiya ma'nosini
yo‘qotmaydigan (ya‘ni cheksiz yoki mavhumlikka
aylantirmaydigan) hamma qiymatlari to‘plami shu
funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi. Agar funksiya
jadval shaklida berilsa, uning aniqlanish sohasi x ning
jadvalda ko‘rsatilgan qiymatlaridan iborat bo‘ladi. Agar 
funksiya grafik shaklda berilsa, uning aniqlanish sohasi
grafikdan ko'rinib turadi. Funksiya analitik shaklda
berilganda esa x ning funksiyani aniqlaydigan formula 
ma'noga ega bo‘ladigan qiymatlari to‘plami shu
funksiyaning aniqlanish sohasi bo'ladi. Funksiyaning
aniqlanish sohasini topish vaqtida formulani boshqa
ko'rinishga keltirish tavsiya etilmaydi.
f(x)= 1 − 𝑥
2
funksiyaning
aniqlanish sohasini toping.
Yechilishi. Ildiz ostidagi
ifodaning qiymati manfiy bo‘lsa, 
funksiya mavjud emas (haqiqiy
sonlar to'plamida hech qanday
funksiyani aniqlamaydi). Demak, 
ildiz ostidagi ifoda ma‘noga ega
bo‘lishi uchun 1—x
2
≥
0 shart
bajarilishi kerak, u holda bu
tengsizlikning yechimlari
to‘plami [— 1; 1]] kesma
bo‘ladi. Shunday qilib, 
funksiyaning aniqlanish sohasi
D(f)=[— 1; 1] kesmadan iborat.

---

ELEMENTAR FUNKSIYALAR VA ULARNING 
GRAFIKLARI
Matematikaning ko‘p masalalarida qo‘llaniladigan quyidagi funksiyalar asosiy elementar funksiyalar
deyiladi: 
1. y=b — o'zgarmas funksiya (b>=const), b∈R
1
. 
2. y=x
a
darajali funksiya, a — haqiqiy son. 
3. y=a
x
ko‘rsatkichli funksiya, bunda a > 0, a≠ 1.
4. 7=log
a
x logarifmik funksiya, bunda a > 0, а ≠ 1. 
5. y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x, у =
1
cos 𝑥
= sec x, у =
1
sin 𝑥
= sec x — trigonometrik funksiyalar. 
6. y=arcsin x, y=arcos x, y= arctg x, y=arcctg x — teskari trigonometrik funksiyalar. 
Chekli sondagi asosiy elementar funksiyalar ustida qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish, natural 
darajaga ko'tarish, ildiz chiqarish amallarini bajarish va murakkab funksiya hosil qilish natijasida
yuzaga keladigan (analitik usulda berilgan) funksiyalar ham elementar funksiyalar deyiladi. Masalan,

---

Elementar funksiyalar quyidagi asosiy
sinflarga bo‘linadi:
1) butun-ratsional funksiya (ko‘phad). Bunday funksiyaning umumiy ko‘rinishi quyidagicha
bo‘ladi:
bunda a0, av.., a„ — haqiqiy sonlar, a0*0 (ko‘phadning koeffitsiyentlari), n - manfiy bo‘lmagan
butun son (ko‘phadning darajasi). a0, a,..., a„ sonlar va x ustida chekli sondagi qo'shish, 
ko"paytirish va darajaga ko'paytirish amallari bajarilgan. Butun-ratsional funksiyaning aniqlanish
sohasi R1 dan iborat. Xususiy holda, y=ax+b — chiziqli funksiya va y=ax2+bx+c — kvadrat uchhad
butun-ratsional funksiyalardir.
2) Qasr-ratsional funksiya. Ikkita qisqarmas butun-ratsional funksiyaning (ko‘phadning) 
nisbatidan tuzilgan:
funksiya kasr - ratsional funksiya deb ataladi. Kasr-ratsional funksiya
to'plamda, ya'ni maxrajni nolga
aylantiruvchi nuqtalardan farqli bo'lgan
barcha haqiqiy sonlardan iborat
to'plamda aniqlangan. Xususiy holda,
y=
𝑥
5
+2
𝑥
2
+3𝑥
va y=
𝑥
𝑥4+1

---

E’TIBORINGIZ UCHUN RAHMAT