Funksiyalar haqida malumot
Download 113.69 Kb.
|
Avaz
|
Funksiyalar haqida malumot Funksiyaning berilish usullari. Funksiya umumiy holda analitik, jadval, grafik va so‘z usullari bilan berilishi mumkin. Analitik usul. Ko‘pincha xvay o'zgaruvchilar orasidagi bog'lanish formulalar yordamida ifodalanadi. Bunda argument x ning har bir qiymatiga mos keladigan funksiyaning у qiymati x ustida analitik amallar — qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish, darajaga ko'tarish, ildizdan chiqarish, logarifmlash va h.k. amallami bajarish natijasida topiladi. Odatda, bunday usul funksiyaning analitik usulda berilishi deyiladi. Funksiya analitik usulda quyidagi ko‘rinishlarda berilishi mumkin. v=g(x) yoki x=g(y) ko‘rinishdagi formulalar bilan berilgan funksiyalar oshkor ko‘rinishda berilgan funksiyalar deyiladi. Masalan, y=6x— 2, j>=x2+lnx funksiyalar oshkor ko‘rinishda berilgan. Analitik usulda berilgan funksiya bir nechta formulalar vositasida yozilishi ham mumkin, masalan: /( * ) = cosjc, -rc Balzi bir oshkormas ko‘rinishdagi funksiyalarni y = f(x ) (oshkor) ko‘rinishda ifodalash ham mumkin. Har qanday oshkor ko‘rinishdagi y=J(x) funksiyani oshkormas ko‘rinishda yozish ham mumkin: у —f (x)=0 Funksiyaning aniqlanish sohasi. 3- ta‘rif. Argumentning funksiya ma'nosini yo‘qotmaydigan (ya‘ni cheksiz yoki mavhumlikka aylantirmaydigan) hamma qiymatlari to‘plami shu funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi. Agar funksiya jadval shaklida berilsa, uning aniqlanish sohasi x ning jadvalda ko‘rsatilgan qiymatlaridan iborat bo‘ladi. Agar funksiya grafik shaklda berilsa, uning aniqlanish sohasi grafikdan ko'rinib turadi. Funksiya analitik shaklda berilganda esa x ning funksiyani aniqlaydigan formula ma'noga ega bo‘ladigan qiymatlari to‘plami shu funksiyaning aniqlanish sohasi bo'ladi. Funksiyaning aniqlanish sohasini topish vaqtida formulani boshqa ko'rinishga keltirish tavsiya etilmaydi. misol. f(x ) = funksiyaning aniqlanish sohasini toping. Yechilishi. ^ funksiyaning maxraji nolga aylanadigan nuqtalarda funksiya ma‘noga ega emas. Demak, bu funksiyaning aniqlanish sohasini topishda quyidagi x1— 4*0 yoki x*±2 shartlar bajarilishini talab qilish kerak. Shunday qilib, funksiyaning aniqlanish sohasi uchta oraliqning birlashmasidan iborat, ya‘ni D (f) - (-00;-2) u (-2; 2) u (2;+«=). -7- Xulosa. Funksiya kasr ko‘rinishida berilgan bo‘lsa, uning aniqlanish sohasi argumentning kasr maxrajini noldan faqli qiladigan qiymatlari to'plamidan iborat bo‘ladi. Funksiyaning e ‘zgarish sohasi. y = f(x ) funksiya xeX to'plamda berilgan bo'lsin. Tarif. Funksiyaning argumenti X = D (f) dagi hamma qiymatlarini qabul qilganda funksiyaning unga mos kelgan qiymatlari to'plami E (f) shu funksiyaning o'zgarish sohasi (qiym atlari to'plami) deyiladi. Funksiyaning o‘zgarish sohasi diskret nuqtalardan, nuqtadan, oraliq, segment, bir necha oraliqlardan va h.k. iborat bo'lishi mumkin. Jadval yoki garfik usulda berilgan funksiyalaming o‘zgarish sohalari o‘z-o‘zidan ma'lum. Analitik usulda, ya‘ni y= f(x) shaklda berilganda funksiyaning o‘zgarish sohasini topish uchun у ning / (x)=y tenglama haqiqiy yechimga ega bo‘ladigan barcha qiymatlarini topish talab qilinadi. Quyidagi tasdiqlar o'rinli. 1°. Agar berilgan funksiya (bu yerda uzluksiz funksiya nazarda tutiladi) eng kichik va eng katta qiymatga ega bo‘lsa,/(x) funksiyaning o‘zgarish sohasi uning shu eng kichik va eng katta qiymatlari hamda ular orasidagi barcha sonlar to‘plamidan iborat boiadi. 1- misol. [0; 4] kesmada /(x)=x2+4 funksiyaning o'zgarish sohasini toping. Yechilishi. [0; 4] kesmada berilgan funksiyaning eng kichik qiymati / ( 0)=4, eng katta qiymati /(4 )= 2 0 bo'lgani uchun, uning o'zgarish sohasi E (f)= \4; 20] dan iborat. 2°. Agar funksiya eng kichik (katta) qiymatga ega bo‘lsa-yu, ammo eng katta (kichik) qiymatga ega bo‘lmasa (ya‘ni u cheksiz orta (kamaya) borsa), u holda /(x) funksiyaning o'zgarish sohasi funksiyaning eng kichik (katta) qiymati va shu qiymatdan katta (kichik) barcha sonlar to‘plamidan iborat bo‘ladi. Funksiya grafigining koordinatalar tekisligida joylashishi. Funksiyaning aniqlanish sohasi bilan o'zgarish sohasi topilgandan so'ng, uning grafigi Dekart koordinatalar tekisligining qaysi qismida joylashishini aniqlash mumkin. -8-
Misol: j>=arcsinx funksiyaning grafigi koordinatalar tekisligining qaysi qismida joylashishini aniqlang. Yechilishi. Ma'lumki, funksiyaning aniqlanish va o'zgarish sohalari mos ravishda — 1 < x < 1 va — у < \ dan iborat bo'ladi. Dekart koordinatalar tekisligida funksiyaning grafigi D={(x,y): —1 Tarif. Agar istalgan xeX uchun — j c g A" bo‘lsa, u holda X to‘plam О (koordinatalar boshi) nuqtaga nisbatan simmetrik to ‘plam deyiladi. Butun sonlar to‘plami Z, \— a\ a\, (— a; a), (—°°; +°°) kabi to'plamlar koordinata boshiga nisbatan simmetrik to‘plamlardir. y =f (■*) funksiya О nuqtaga nisbatan simmetrik bo'lgan to‘plamda aniqlangan bo‘lsin. Tarif. Agar istalgan х в X uchun f ( — x)= f(x) bo‘lsa, u holda / (x) funksiya X to‘plamda ju ft funksiya deyiladi. y=x2, у = cosx, _y=|x|, y = f ([x)>, funksiyalar koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo‘lgan to‘plamlarda aniqlangan boisa, ular juft funksiyalar bo'ladi. Ta‘rifda X to'plamning koordinatalar boshiga nisbatan simmetrikligi muhimdir. Masalan, y=x2 funksiya xe [—1; 2] da berilgan bo'lsa, bu funksiya juft funksiya bo'lmaydi, chunki [—1; 2] to‘plam koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik emas. Juft funksiyalaming grafigi ordinatalar o'qiga nisbatan simmetrik bo‘ladi. Bir qiymatli va ko‘p qiymatli funksiyalar. Agar X to‘plamdagi har bir x songa biror qoida yoki qonunga ko‘ra Y to‘plamdan bitta у son mos qo‘yilsa, u holda у funksiya bir qiymatli deyiladi, ya'ni V x ,,x 2 e X , x } Ф Х 2 => /( x ,) * f ( x 2). Agar X to‘plamdagi har bir x songa biror qoida yoki qonunga ko‘ra Y to‘plamdan bittadan ortiq yoki cheksiz ko‘p у son mos qo‘yilsa, u holda funksiya ко ‘p qiymatli deyiladi. Masalan: 1) y = ±y[x — ikki qiymatli funksiya; 2) у =Arcsinx — ko‘p qiymatli funksiya; 3) y = 3 x + 2 — bir qiymatli funksiya. -9-
Chegaralangan va chegaralanmagan funksiyalar. y = f(x ) funksiya X to‘plamda aniqlangan bo‘lsin. Tarif. Agar shunday o ‘zgarmas A/(o‘zgarmas m) son topilib, istalgan x e X uchun f(x ) < M (f (x) > m) tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, /(x ) funksiya X to‘plamda yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi, aks holda esa funksiya yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan deyiladi. Monoton funksiyalar. y —f { * ) funksiya X = [a ,b ] (AczR) to‘plamda berilgan bo‘lsin. 9- ta‘rif. Agar istalgan xi, x is X lar uchun fxi< =f( x 2) ( f( x ,) < f ( x 2)) tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, / (x) funksiya X to‘plamda o ‘suvchi yoki kamaymovchi (qat'iy о ‘suvchi) deb ataladi. Teskari funksiyalar. /(x ) funksiya X to'plamda aniqlangan bo'lib, funksiyaning o'zgarish (qiymatlari) sohasi Y bo'lsin. 11-ta‘rif. y = /( x ) funksiyaning har bir ye Y qiymatiga / munosabatga ko'ra X dan faqat bitta x qiymat mos kelsa, У to'plamda qandaydir funksiya aniqlangan bo'ladi va u у = /(x ) ga nisbatan teskari funksiya deyiladi hamda x = /- l(_v) ko'rinishda belgilanadi. Odatdagidek, funksiyani у bilan, argumentni esa x bilan belgilashlarga muvofiq, y = f~ '(x ) ko'rinishda yozishadi. f -'( x )= g ( x ) desak, y = g ( x ) bo'ladi. . Murakkab funksiyalar. F va g funksiyalar mos ravishda X va У, to'plamlarda berilgan bo'lib, f funksiyaning qiymatlar to'plami E (f)= Y , g funksiyaning qiymatlar to'plami E (g )= Z va УсУ, (f funksiyaning qiymatlar to'plami g funksiyaning aniqlanish sohasida yotsin) shart bajarilganda X to'plamda F=g (f(x))=h(x) (F=g(y), y = f (x)) murakkab funksiya yoki g va f funksiyalar kompozitsiyasi aniqlangan deyiladi va u z = g ‘f kabi belgilanadi (3.21, 3.22- chizmalar). -10-
Uzluksiz funksiyaning ta‘riflari f(x) funksiya Xcz R' to‘pIamda aniqlangan bo'lib, a shu X to'plamning limit nuqtasi bo‘lsin, a e X. 1- ta‘rif. Agar x—>a da f{x) funksiyaning limiti mavjud va u f(a) ga teng, ya‘ni lim f(x) = f(a) ( 1 ) X-Ml v 7 bo‘lsa, / (x) funksiya a nuqtada uzluksiz deyiladi. Uzluksiz funksiyalaroing xossalari. 1) Nuqtada uzluksiz bolgan funksiyaning lokal xossalari. fix) funksiya X to'plamda aniqlangan bo'lsin. X to'plamdan biror aeX nuqta olib, bu nuqtaning shu to'plamga tegishli bo'lgan yetarli kichik Ub(a) atrofmi qaraylik. 1°. Agar f{x) funksiya a nuqtada uzluksiz bo'lsa, u holda a nuqtaning yetariicha kichik atrofida funksiya chegaralangan b la d i, ya'ni 3 5 > 0 3 C > 0 : Vxe Uhia) -> /(x )< C . 2°. Agar fix ) funksiya a nuqtada uzluksiz va f(a)*0 bo'lsa, f(a) son bilan a nuqtaning yetarlicha kichik atrofida f(x) funksiyaning ishorasi bir xil bo'ladi, ya'ni 35>0 : V*e Ub{a) -> sign /(x)=sign f{a). Natija. Agar /(x ) funksiya a nuqtada uzluksiz bo'lib, bu nuqtaning yetarlicha kichik atrofidan olingan x nuqtalarda ham musbat, ham manfiy ishorali qiymatlarni qabul qilaversa, funksiyaning a nuqtadagi qiymati nolga teng bo'ladi. 3°. Agar f{x) funksiya a nuqtada uzluksiz bo'lsa, a nuqtaning yetarlicha kichik atrofidan olingan x' va x” nuqtalar uchun f{x') — f{x*Y 0 son. Funksiyaning nuqta atrofidagi xususiyatlariga uning lokal xususiyatlari deyiladi. 2) Uzluksiz funksiyalar ustida amallar. Uzluksiz funksiyalar uchun quyidagi tasdiqlar o'rinli. -11-
To‘liq funksiyalar sistemasi. Ikkitaraflama funksiyalar sistemasining to‘liq bo‘lish sharti. Yopiq sinflar. Xususiy funksional yopiq sinf. Maksimal funksional yopiq sinf. Post teoremasi. Natija. To‘plam yopig‘i. Post jadvali. Mantiq algebrasining funksiyalar sistemasi berilgan bo‘lsin. Tarif. Agar mantiq algebrasining istalgan funksiyasini sistemadagi funksiyalar superpozitsiyasi orqali ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda F ga to‘liq funksiyalar sistemasi deb aytiladi. Istalgan funksiyani MKNSh yoki MDNSh ko‘rinishida ifodalash mumkinligidan funksiyalar sistemasining to‘liqligi kelib chiqadi. funksiyalar sistemasi ham to‘liq bo‘ladi, chunki istalgan funksiyani Jegalkin ko‘phadi ko‘rinishiga keltirish mumkin. Quyidagi funksiyalar sistemasining to‘liqligini isbotlang: a) ; b) ; v) ; g) ; d) ; i) ; j) ; z) ; ye) . Isbot. a). = , ya’ni diz’yunksiya amalini kon’yunksiya va inkor amallari orqali ifodalash mumkin. Demak, { , } funksiyalar sistemasi to‘liq bo‘ladi. b). = = ekanligi ma’lum. Demak, istalgan mantiqiy funksiyani diz’yunksiya va inkor amallari orqali ifodalasa bo‘ladi. Shuning uchun { } funksiyalar sistemasi to‘liqdir. v). Ixtiyoriy mantiq algebrasining funksiyasini yagona Jegalkin ko‘phadi ko‘rinishiga keltirish mumkinligidan { } funksiyalar sistemasining to‘liqligi kelib chiqadi. g) va d). Mantiq algebrasidagi istalgan funksiyani va Sheffer funksiyalari orqali ifodalash mumkin. Haqiqatan ham, va , asosiy mantiqiy amallarni Sheffer funksiyasi orqali ifodalash mumkin. Demak, { } va { } funksiyalar sistemasi to‘liq bo‘ladi. i). bo‘lganligi uchun bo‘ladi. { } to‘liq sistema ekanligi v) punktida isbot qilingan edi, demak, { } cistema to‘liqdir. Xuddi shunday boshqa funksiyalar sistemasining to‘liqli-gini isbot qilish mumkin. -1- Download 113.69 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|