Funksiyalar

5.27.1. Teorema (Lopitalning ikkinchi qoidasi) va funksiyalar nuqtaning biror atrofida aniqlangan va differensiallanuvchi,

va ko'rsatilgan atrofning hamma joyida bo'lib,

(chekli yoki cheksiz) mavjud bo'lsa, u holda

mavjud va

tenglik o'rinli bo'ladi.
Isboti. (5.27.2) ga asosan lar uchun deb qarash mumkin.
a) Avvalo chekli bo'lgan holni qaraymiz. berilgan son uchun (5.27.3) ga asosan topilib, qanoatlantiruvchi lar uchun

tengsizlik o'rinli bo ladi. deb belgilab, ni va orasidan olib, oraliqga umumlashgan Koshi (5.25.2 q.) formulasini qo'llaymiz:

U holda, (5.27.5) ga asosan

bo'ladi. Osonlik bilan ko'rish mumkinki, quyidagi ayniyat o rinli bo ladi: