Funksiyaning ekstremumlari

2- teorema(ikkinchi qoida). f(x) funksiya (a, b) intervalda uzluksiz bo`lib , uning nuqtasida birinchi va ikkinchi tartibli hosilasi mavjud bo`lsin. 1) Agar va bo`lsa, u holda -maksimum nuqtasi bo`ladi; 2) Agar va bo`lsa, u holda minimum nuqtasi bo`ladi.


Funksiyalarning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari
Ma`lumki, [a, b] kesmada uzluksiz bo`lgan funksiya shu kesmada o`zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Shu qiymatlarni qanday topish mumkin?
Agar funksiya monoton bo`lsa (uning hosilasi o`z ishorasini saqlasa, ya`ni u yo manfiymas, yoki musbatmas bo`lsa), u holda funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari [a, b] kesmaning oxirlarida -x=a va x=b nuqtalarda bo`ladi.
Agar funksiya monoton bo`lmasa (ya`ni uning hosilasi ishorasini o`zgartirsa), u holda funksiya ekstremumlarga ega bo`ladi. Bu holda eng katta va eng kichik qiymatlar ekstremumlar bilan bir xil bo`lishi mumkin, ma`lumki, ekstremumlar kritik nuqtalarda bo`ladi.
Shunday qilib, funksiyaning [a, b] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun:

1. 
   funksiyaning kritik nuqtalarini aniqlash;
   
2. 
   funksiyaning kritik nuqtalaridagi va kesmaning oxirlaridagi qiymatlarini hisoblash;
   
3. 
   topilgan qiymatlardan eng katta va eng kichik qiymatlarni tanlash kerak, ana shu qiymatlar funksiyaning [a, b] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini ifodalaydi.
   

1-misol. funksiyaning [-2, 5] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini aniqlang.
Yechish. a) Kritik nuqtalarni topamiz: hosilani hisoblaymiz: tenglamani yechamiz: berilgan kesmaga faqat nuqta kiradi.
b) Funksiyaning x=1, x=-2, x=5 nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz:

v) topilgan qiymatlardan eng katta M ni va eng kichik m ni tanlaymiz :

Shunday qilib, funksiyaning eng katta qiymati kesmaning x=5 o`ng oxirida ekan, eng kichik qiymati esa x=1 nuqtadagi minimum bilan bir xil ekan.
2-misol. Tomoni a ga teng bo`lgan kvadrat shakldagi kartondan asosi to`g`ri to`rtburchak shaklda bo`lgan eng katta hajmli usti ochiq quti tayyorlang.
Yechish. Odatda, kvadrat shakldagi kartonning burchaklaridan teng kvadratlarni qirqib va uning chetlarini buklab, ochiq to`g`ri to`tburchak shakldagi quti yasaladi. Agar kesilgan kvadratlarning tomoni x desak, quti asosining tomoni a-2x, qutining balandligi esa x ga teng. U holda qutining hajmi

bo`ladi. Masalaning shartidan ekani kelib chiqadi. Endi V funksiyani kesmada eng katta va eng kichik qiymatga sinash qoladi.
ni topamiz, uni nolga tenglaymiz va kritik nuqtalarni aniqlaymiz :

V funksiyaning nuqtalarda qiymatlarini hisoblaymiz:

Shunday qilib, da funksiya eng katta qiymatga ega. Demak, eng katta hajm asos tomoni balandligi ga teng bo`lganda hosil bo`ladi.