Funksiyaning monotonligi va funksiyaning ekstremumlari

Ekstremum mavjudligining zaruriy sharti.
Teorema. Agar differensiallanuvchi funksiya nuqtada ekstremumga ega bo’lsa, u holda uning shu nuqtadagi hosilasi nolga teng bo’lishi zarur, ya‘ni bo’ladi.
Isboti. Aniqlik uchun funksiyaning nuqtada maksimumga ega deb faraz qilamiz(115-chizma).

1) U holda lar uchun funksiya o’suvchi va , demak,
2) lar uchun funksiya kamayuvchi va , demak, va munosabatlardan kelib chiqadi.
Teoremaning geometrik mazmuni shuni bildiradiki, differensiallanuvchi funksiya uchun ekstremum nuqtalarida urinma 0x o’qqa parallel bo’ladi.
Biz shu paytgacha funksiya ekstremumga ega bo’lgan nuqtalarda differensiallanuvchi deb faraz qildik.
Funksiya hosilaga ega bo’lmagan yoki hosilasi cheksiz bo’lgan nuqtalarda ham funksiya ekstremumga ega bo’lishi mumkin.
Misol. funksiya butun son o’qida uzluksiz bo’lib nuqtada hosilaga ega emasligi isbotlangan edi. Bu nuqtada funksiya minimumga ega (100-chizma).
Ekstremum mavjudligining yetarlilik sharti
Teorema(ekstremum mavjudligining birinchi yetarlilik sharti). funksiya kritik nuqta ni o’z ichiga olgan birorta intervalda uzluksiz va shu intervalning barcha (balki nuqtaning o’zidan boshqa) nuqtalarida differensiallanuvchi bo’lsin. Agar shu nuqtaning chap tomonidan o’ng tomoniga o’tishda hosilaning ishorasi plyusdan minusga o’zgarsa, funksiya kritik nuqtada maksimumga ega bo’ladi. Agar nuqtaning chap tomonidan o’ng tomoniga o’tishda hosilaning ishorasi minusdan plyusga o’zgarsa, funksiya bu nuqtada minimumga ega bo’ladi.
Isboti. -kritik nuqta bo’lib uning chap tomonidan o’ng tomoniga o’tishda hosila ishorasini plyusdan minusga o’zgartirsin, ya‘ni nuqtaning chapida hosila musbat, uning o’ngida hosila manfiy bo’lsin. Demak shunday yetarlicha kichik musbat son mavjud bo’lib intervalda funksiyaning hosilasi va intervalda hosila bo’ladi.
Funksiyaning o’sishi va kamayishi haqidagi teoremaga binoan kesmada funksiya o’sadi , kesmada esa u kamayadi.
Demak, kesmaga tegishli barcha х lar uchun bo’ladi. Bu funksiya nuqtada maksimumga ega ekanligini ko’rsatadi(116-chizma).

Teoremaning ikkinchi qismi ham shunga o’xshash isbotlanadi
Izoh. kritik nuqtaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga o’tishda hosila ishorasini o’zgartirmasa kritik nuqtada funksiya ekstremumga ega bo’lmaydi.