Funksiyaning muhim sinflari va uning tatbiqlari. Funktsiyaning o’sishi va kamayishi

Funksiyaning monotonlik intervallari. Funksiyaning o’sishi yoki kamayishi mumkin bo’lgan intervallar monotonlik intervallari deyiladi. Berilgan intervallarda funksiya monotonligini hosila yordamida qanday aniqlash masalasini qaraymiz. Dastlab funksiya monotonlik intervalini aniqlashning zaruriy shartini aniqlaymiz.
1-teorema (zaruriy sharti). Agarf(x) funksiya (a; b) intervalda differensiallanuvchi va o’suvchi (kamayuvchi) bo’lsa, и holda ixtiyoriy x (a; b) uchun

(1)
o’rinli bo’ladi.
Isbot . Aytaylik, nuqta (a; b) intervaldagi biror nuqta bo’lsin. (a;b) intervalda fukksiya o’suvchi bo’lgan holni qaraylik. U holda uchun uchun tengsizlik o’rinli bo'ladi. Bundan esa ixtiyoriy uchun da
(2)
tengsizlik o’rinli.
funksiya (a; b) intervalda differensiallanuvchi bo'lgani uchun (2) tengsizlikda ga intilganda limitga o‘tsak, ga ega bo’lamiz.
Xuddi shunga o’xshash kamayuvchi funksiya uchun ham ga ega bo’linadi. Funksiya monotonlik intervalini yetarli shartini aniqlash uchun
quyidagi ikki teoremadan foydalaniladi.
2-teorema (Roll teoremasi). Agar у=f ( x ) funksiya [a; b] kesmada aniqlangan va uzluksiz, (a; b) intervalda differensiallanuvchi, kesmaning oxirlarida teng f(a)=f(b) qiymatlarni qabul qilsa, и holda kesmaning ichida kamida bitta (a; b) nuqta topiladiki, unda hosila nolga teng, ya’ni f '(x) = 0 bo'ladi.
Teorema bajarilsa, ya’ni f '(x ) = 0 bo‘lsa, bu tga = 0 ekanini bildiradi
(a - Ox )o'qning musbat yo'nalishi bilan f( x) funksiya grafigiga abssissasi x= с ga teng bo'lgan nuqtada o'tkazilgan urinma orasidagi burchak). Shu sababli, teorema sharti bajarilsa, u holda (a; b) kesma ichida kam deganda bitta shunday x=с nuqta topiladiki, grafikka abssissasi x = с ga teng nuqtada o‘tkazilgan urinma Ox o‘qqa parallel bo'ladi.
3-t e о r e m a (Lagranjning chekli orttirmalar haqidagi teoremasi). Agar у =f ( x ) funksiya [a; b] kesmada aniqlangan va uzluksiz, (a; b) intervalda differensiallanuvchi bo'lsa, и holda [a; b] kesma ichida kamida bitta (a; b) nuqta topiladiki, bu nuqtada
(3)
tenglik bajariladi.
4-teorema (yetarli sharti). Agar f(x) funksiya (a; b) intervalning har bir nuqtasida musbat (manfiy) hosilaga ega bo ‘Isa, bu funksiya (a; b) intervalda qa’tiy o’sadi (qa’tiy kamayadi).
Isbot . Aytaylik va lar (a; b) intervaldagi ixtiyoriy nuqtalar bo'lsin, bunda . U holda Lagranj teoremasiga ko‘ra ( ) intervalda shunday
nuqta topiladiki, bunda
(4)
bo'ladi.
Agar f ( x ) > 0 bo'lsa, u holda uchun (4) formuladan bo'ladi. Bu esa (a; b) intervalda funksiyani qa’tiy o'suvchanligini ko'rsatadi.
Agar (x ) < 0 bo'lsa, u holda uchun (4) formuladan bo'ladi. Bu (a; b) intervalda funksiyani qa’tiy kamayuchanligini ko'rsatadi.
Bu teoremadan ko'rinadiki, funksiyaning monotonlik intervallari bir-biridan funksiya hosilasi nolga teng bo'lgan yoki uzilishga duchor bo'lgan nuqtalari bilan ajraladi. Bu nuqtalar kritik nuqtalar deyiladi. Bulardan funksiyaning monotonlik intervallarini topishning quyidagi qoidasi kelib chiqadi:
1) funksiyaning kritik nuqtalari topiladi. Shu kritik nuqtalar bilan funksiya aniqlanish sohasi hosila ishorasini o'zgartirmaydigan intervallarga bo'linadi;
2) shu intervallami qaysi birida f ' (x) > 0 bo‘lsa, shu intervalda funksiya qa’tiy o‘sadi, qaysi birida f '( x) < 0 bo'lsa, funksiya shu intervalda qa’tiy kamayadi.