Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi ta’riflari Bir tomonli uzluksizlik

Reja:

1. 
   Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi ta’riflari
   
2. 
   Bir tomonli uzluksizlik
   
3. 
   Uzluksiz funksiyalar ustida amallar
   
4. 
   Murakkab funksiya uzluksizligi
   

Funksiyaning uzluksizligi tushunchasi matematik analizning asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, u funksiya limiti tushunchasi bilan bevosita bog‘liq.

Bu bobda funksiyaning aniqlanish sohasi X ni biror oraliqdan iborat, ya’ni segment, interval yoki yarim segmentlardan birortasi deb qaraymiz.
Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi ta’riflari.
Aytaylik y=f(x) funksiya oraliqda berilgan va bo’lsin
1-ta’rif.Agar tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.
Demak, funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun
ning mavjud bo‘lishi va bu limit funksiyaning nuqtadagi qiymati ga teng bo‘lishi kerak ekan. Bunday nuqta funksiyaning uzluksizlik nuqtasi deyiladi.
2-ta’rif.Agar funksiya X to‘plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa, u X to‘plamda uzluksiz deyiladi.
3-ta’rif.Agar bo‘lsa, u holda
nuqta funksiyaning uzilish nuqtasi deyiladi.

1-misol. funksiya ixtiyoriy
nuqtada uzluksiz ekanligini ko‘rsating.
Yechish:

Demak, bu funksiya ixtiyoriy nuqtada uzluksiz ekan.

Funksiya limiti ta’riflaridan foydalanib, uzluksizlikning boshqa ta’riflarini keltiramiz.
4-ta’rif (Geyne). Agar to‘plamdan olingan va ga intiluvchi har qanday ketma-ketlik uchun, funksiya qiymatlaridan iborat sonli ketma-ketlik ga yaqinlashsa, u holda funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.
2-misol. Sonlar o‘qi, da berilgan Dirixle funksiyasi uchun uning uzilish nuqtasi ekanligini ko‘rsating.
Yechish. Irratsional sonlarning 2 ga intiluvchi ketma-ketligini olsak, =0 bo‘lib, kelib chiqadi. Agar ratsional sonlarning 2 ga intiluvchi ketma-ketligini olsak, bo‘lib, kelib chiqadi. Bu esa, funksiyaning nuqtada uzilishga ega ekanligini ko‘rsatadi.
Shu usul bilan funksiyaning ixtiyoriy nuqtada uzilishga ega ekanligini ko‘rsatish mumkin.
5-ta’rif (Koshi). Agar har bir ε>0 son uchun shunday δ>0 son mavjud bo‘lib, xning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.
Odatda ayirma argument orttirmasi deyiladi va orqali belgilanadi.
Shuningdek, ayirma funksiyaning nuqtadagi orttirmasi deyiladi va orqali belgilanadi
Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda

bo‘ladi va aksincha agar bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Bir tomonli uzluksizlik
Ta’rif Agar tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada chapdan uzluksiz deyiladi. Bu tenglik o‘rinli bo‘lmasa, funksiya nuqtada chapdan uzilishga ega bo‘ladi.
Ta’rif Agar tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada o‘ngdan uzluksiz deyiladi.
Bu ta’riflardan ko‘rinadiki, funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun, shu nuqtada ham chapdan, ham o‘ngdan uzluksiz bo‘lishi zarur va yetarli.
Uzluksiz funksiya ustida arifmetik amallar.
Aytaylik va funksiyalar to‘plamda aniqlangan va bo‘lsin.
Teorema.Agar va funksiyalarning har biri
nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda
,
funksiyalar ham nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Isboti. Shartga ko‘ra va funksiyalar
nuqtada uzluksiz bo‘lgani uchun, , bo‘ladi. Bulardan va limitga ega bo‘lgan funksiyalar xossasidan



tengliklarning o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi.
1-misol. funksiya intervalda uzluksiz bo‘lishini ko‘rsating.
Yechish: funksiya har bir nuqtada uzluksiz ekanligini ko‘rsatgan edik. 1-teoremaga ko‘ra, funksiya ham har bir nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Murakkab funksiyaning uzluksizligi.
Aytaylik va funksiyalardan tuzilgan murakkab funksiya berilgan bo‘lsin.


Teorema. Agar funksiya nuqtada, funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda murakkab funksiya ham nuqtada
uzluksiz bo‘ladi.

Isboti. Shartga ko‘ra, funksiya nuqtada uzluksiz, funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lgani uchun , tengliklar o‘rinli bo‘ladi.
Murakkab funksiyaning limiti haqidagi teoremaga asosan son funksiyaning dagi limiti bo‘ladi. Bu esa, funksiyaning nuqtada uzluksiz ekanligini ko‘rsatadi.
Misol. funksiya har bir nuqtada uzluksiz ekanligini isbotlang.
Yechish. funksiya barcha nuqtada, funksiya ham har bir nuqtada uzluksiz bo‘lgani uchun, 2- teoremaga ko‘ra, murakkab funksiya ham barcha larda uzluksiz bo‘ladi.