Funksiyaning qavariqligi va botiqligi

14-Ma`ruza. Funksiya grafigining qavariqligi, botiqligi, egilish 

nuqtalari va asimptotalari. Parametrik usulda berilgan funksiyalar. 

Differensial hisobning tadbiqlari 

1

0

.  Funksiyaning  qavariqligi  va  botiqligi.  Faraz  qilaylik, 

  funksiya 

 da berilgan bo„lib, 

 uchun 

  bo„lsin.  

 funksiya grafigining 

 nuqta-laridan o„tuvchi 

to„g„ri chiziqni 

 desak, u quyidagicha   

 

bo„ladi. 

1-ta’rif.  Agar  har  qanday  oraliq 

  da  joylashgan 

 uchun 

 

bo„lsa, 

 funksiya 

 da botiq (qat‟iy botiq) funksiya deyiladi. 

2-ta’rif.  Agar  har  qanday  oraliq 

  da  joylashgan 

 uchun 

 

bo„lsa, 

 funksiya 

 da qavariq (qat‟iy qavariq) funksiya deyiladi. 

Botiq hamda qavariq funksiyalarning grafiklari 7-chizmada tasvirlangan: 

 

 

 

7-chizma. 

)

(x

f

)

,

(

b

a

)

,

(

,

2

1

b

a

x

x



2

1

x

x



)

(x

f

))

(

,

(

)),

(

,

(

2

2

1

1

x

f

x

x

f

x

)

(x

l

y



)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

1

1

2

2

x

f

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

l













)

,

(

)

,

(

2

1

b

a

x

x



)

,

(

2

1

x

x

x





))

(

)

(

(

)

(

)

(

x

l

x

f

x

l

x

f





)

(x

f

)

,

(

b

a

)

,

(

)

,

(

2

1

b

a

x

x



)

,

(

2

1

х

х

х









)

(

)

(

)

(

)

(

x

l

x

f

x

l

x

f





)

(x

f

)

,

(

b

a

 

Aytaylik, 

bo„lib, 

  bo„lsin. 

Funksiyaning botiqligi hamda qavariqligini quyidagicha ta‟riflash ham mumkin. 

 

 

3-ta’rif. Agar 

 

 

bo„lsa, 

 funksiya 

da botiq (qat‟iy botiq) deyiladi. 

4-ta’rif. Agar 

 

 

bo„lsa, 

 funksiya 

 da qavariq (qat‟iy qavariq) deyiladi. 

1-misol. Ushbu 

                        

 

funksiya    da qat‟iy botiq funksiya  bo„ladi.  

◄ 3-ta‟rifdan foydalanib topamiz: 

 

 

► 

1-teorema.  Faraz  qilaylik, 

  funksiya 

  da  berilgan  bo„lib,  unda 

  hosilaga  ega  bo„lsin. 

  funksiyaning 

  da  botiq  (qat‟iy  botiq) 

bo„lishi  uchun 

ning   

  da  o„suvchi  (qat‟iy  o„suvchi)  bo„lishi  zarur  va 

etarli. 

1

,

0

,

0

1

1

2

1

















)

,

(

,

2

1

b

а

х

х





)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

1

2

2

1

.

1

x

f

x

f

x

x

f



















)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

2

2

1

.

1

x

f

x

f

x

x

f















)

(x

f

)

,

(

b

a

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

1

2

2

1

.

1

x

f

x

f

x

x

f



















)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

2

2

1

.

1

x

f

x

f

x

x

f















)

(x

f

)

,

(

b

a

2

)

(

x

x

f



R















2

2

2

2

1

2

1

2

1

1

2

2

2

1

1

2

2

1

1

)

(

2

)

(

)

(

)

(

x

x

x

x

x

x

x

x

f



































)

(

)

(

)

(

2

1

2

2

2

2

1

2

1

1

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1





















x

x

x

x

x

x

)

(

)

(

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

x

f

x

f

x

x

















)

(x

f

)

,

(

b

a

)

(x

f



)

(x

f

)

,

(

b

a

)

(x

f



)

,

(

b

a

◄ Zarurligi. 

funksiya 

 da botiq bo„lsin. U holda 

  

 

 uchun  

 

bo„lib, undan 

 

bo„lishi kelib chiqadi. (

 deyildi). Keyingi tengsizlikda 

 so„ng 

 da limitga o„tib, 

 

 

bo„lishini  topamiz.  Undan 

  bo„lishi  kelib  chiqadi.  Demak, 

 

funksiya (a,b) da o„suvchi.  

 funksiya 

 da  qat‟iy  botiq bo„lsin. U holda 

 

bo„ladi. Lagranj teoremasiga muvofiq 

 

 

bo„lib,  undan 

 bo„lishi kelib chiqadi. 

Etarliligi. 

  funksiya 

  da    o„suvchi  (qat‟iy    o„suvchi)  bo„lsin: 

 

 da 

    (

). 

)

(x

f

)

,

(

b

a

),

,

(

,

2

1

b

a

x

x





,

2

1

x

x



)

,

(

2

1

x

x

x





)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

1

1

2

2

x

f

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

f













x

x

x

f

x

f

x

x

x

f

x

f











2

2

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(





)

(

)

(

1

2

1

2

x

x

x

x

x

x











1

x

x



2

x

x



,

)

(

)

(

)

(

1

2

1

2

1

x

x

x

f

x

f

x

f









1

2

1

2

2

)

(

)

(

)

(

x

x

x

f

x

f

x

f









)

(

)

(

2

1

x

f

x

f







)

(x

f



)

(x

f

)

,

(

b

a

x

x

x

f

x

f

x

x

x

f

x

f











2

2

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

;

),

(

)

(

)

(

1

1

1

1

1

x

c

x

c

f

x

x

x

f

x

f













2

2

2

2

2

),

(

)

(

)

(

x

c

x

c

f

x

x

x

f

x

f













)

(

)

(

2

1

x

f

x

f







)

(x

f



)

,

(

b

a

),

,

(

,

2

1

b

a

x

x





2

1

x

x



)

(

)

(

2

1

x

f

x

f







)

(

)

(

2

1

x

f

x

f







Lagranj teoremasidan foydalanib topamiz: 

 

. 

Ravshanki, 

. 

Demak, 

 

bo„lib,  yuqoridagi munosabatlardan 

       

 

bo„lishi  kelib  chiqadi.  Bu  esa 

  funksiyaning 

  da  botiq  (qat‟iy  botiq) 

ekanini bildiradi.  ► 

Xuddi shunga o„xshash, quyidagi teorema ham isbotlanadi. 

2-teorema. 

  funksiya 

  da  berilgan  bo„lib,  unda 

  hosilaga 

ega bo„lsin. 

 funksiyaning 

 da  qavariq  (qat‟iy qavariq) bo„lishi uchun 

 

ning 

 da kamayuvchi (qat‟iy kamayuvchi) bo„lishi zarur va etarli. 

Aytaylik, 

  funksiya 

  da  berilgan  bo„lib,  u  shu  intervalda 

 

hosilaga  ega  bo„lsin.  Bundan  tashqari 

  intervalning  har  qanday 

 

 qismida 

 aynan nolga teng bo„lmasin. 

3-teorema. 

  funksiya 

  intervalda  botiq  (qavariq)  bo„lishi  uchun 

da  

 

bo„lishi zarur va etarli. 

Bu  teoremaning    isboti  yuqoridagi  hamda  funksiyaning  monotonligi 

haqidagi teoremalardan kelib chiqadi.  

2-misol. Ushbu  

 

funksiya  qavariq bo„ladi. 

;

),

(

)

(

)

(

1

1

1

1

1

x

c

x

c

f

x

x

x

f

x

f













2

2

2

2

2

),

(

)

(

)

(

x

c

x

c

f

x

x

x

f

x

f













2

1

2

2

1

1

c

c

x

c

x

c

x













)

(

)

(

2

1

c

f

c

f







))

(

)

(

(

2

1

c

f

c

f







x

x

x

f

x

f

x

x

x

f

x

f











2

2

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(























x

x

x

f

x

f

x

x

x

f

x

f

2

2

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(x

f

)

,

(

b

a

)

(x

f

)

,

(

b

a

)

(x

f



)

(x

f

)

,

(

b

a

)

(x

f



)

,

(

b

a

)

(x

f

)

,

(

b

a

)

(x

f



)

,

(

b

a

)

,

(





))

,

(

)

,

((

b

a







)

(x

f



)

(x

f

)

,

(

b

a

)

,

(

b

a

)

0

)

(

(

0

)

(









x

f

x

f

)

0

(

ln

)

(





x

x

x

f

 

◄Bu funksiya uchun  

 

bo„ladi. 2-teoremaga ko„ra berilgan 

 funksiya 

 da qat‟iy qavariq 

bo„ladi. ► 

([1] 6.9 Convexity and inflection points, 189-bet)2

0

. Funksiyaning egilish 

nuqtalari.  Faraz  qilaylik, 

  funksiya 

  to„plamda  berilgan  bo„lib,  

 bo„lsin.  

5-ta’rif. Agar 

 funksiya 

 da botiq (qavariq), 

 

da qavariq (botiq) bo„lsa,   nuqta 

 funksiyaning egilish nuqtasi deyiladi. 

Aytaylik, 

 funksiya  

 da 

 hosilaga ega bo„lsin. 

Agar  

 da 

   

, 

 da 

   

, 

bo„lsa, 

  funksiya 

  nuqtada  ekstremumga  erishadi  va  demak, 

 

bo„ladi. Demak, 

 funksiya egilish nuqtasi-da  

 bo„ladi.  

3-misol.  Ushbu  

                          

 

funksiya 

 nuqtada egiladi. 

◄Bu funksiya uchun  

 

bo„lib,  

 da 

 

 da 

         

 

bo„ladi. ► 

([1],  5.3  Asymptotes,  135-bet)  3

0

.  Funksiya  grafigining  asimptotalari. 

Faraz  qilaylik, 

  funksiya 

  to„plamda  berilgan  bo„lib, 

  nuqta 

 

to„plamning limit nuqtasi bo„lsin.  

0

1

)

(

2









x

x

f

x

x

f

ln

)

(











,

0

)

(x

f

R

X



0

,

)

,

(

,

0

0

0

















X

x

x

X

x

)

(x

f

)

,

(

0

0

x

x





)

,

(

0

0





x

x

0

x

)

(x

f

)

(x

f

)

,

(

0

0









x

x

)

(x

f



)

,

(

0

0

х

х

х









0

)

(





x

f

)

0

)

(

(





x

f

)

,

,

(

0

0









х

х

х

0

)

(





x

f

)

0

)

(

(





x

f

)

(x

f



0

x

0

)

(

0





x

f

)

(x

f

0

)

(





x

f

3

)

(

x

x

f



0

0



x

х

x

f

6

)

(





)

0

,

(









х

0

)

(





x

f

)

,

,

0

(







х

0

)

(





x

f

)

0

(





)

(x

f

R

X



0

x

X

6-ta’rif.  Agar ushbu  

 

limitlardan  biri  yoki  ikkalasi  xam  cheksiz  bo„lsa, 

  to„g„ri  chiziq 

 

funksiya grafigining vertikal asimp-totasi deyiladi.  

Masalan, 

  funksiya  grafigi  uchun 

  to„g„ri  chiziq  vertikal  asimptota 

bo„ladi. 

Aytaylik, 

 funksiya  

da aniqlangan bo„lsin. 

7-ta’rif. Agar shunday   va    sonlari topilsaki,  

 

bo„lsa, 

  to„g„ri  chiziq 

  funksiya  grafigining  og„ma  asimptotasi 

deyiladi. 

4-teorema. 

  funksiya  grafigi 

  og„ma  asimptotaga  ega 

bo„lishi uchun 

 

bo„lishi zarur va etarli. 

 

Adabiyotlar 

1. Canuto C., Tabacco A. - Mathematical Analysis I, Italy 2008. 

2. Tao T. Analysis 1. Hindustan Book Agency, India, 2014.  

3. Xudoyberganov G., Vorisov A. K., Mansurov X. T., Shoimqulov B. A. 

Matematik analizdan ma’rizalar, I q. T. “Voris-nashriyot”, 2010.  

4.  Fixtengols G. M.  Kurs  differensialnogo  i  integralnogo  ischisleniya,  1  t. 

M. «FIZMATLIT», 2001. 

5. Jabborov N. M., Aliqulov E. O., Axmedova Q. S. Oliy matematika, 1, 2 

parts. Karshi, 2010. 

 

 

)

(

lim

),

(

lim

0

0

0

0

x

f

x

f

x

x

x

x









0

x

x



)

(x

f

х

x

f

1

)

(



0



x

)

(x

f

)

,

(

0





x

k

b

)

0

)

(

да

(

)

(

)

(















x

x

x

b

kx

x

f





b

kx

y





)

(x

f

)

(x

f

b

kx

y





b

kx

x

f

k

x

x

f

x

x



















)

)

(

(

lim

,

)

(

lim