Funktsiya hosilasining ta`rifi, uning geometrik va mexanik ma`nosi. Hosilaning tatbiqlari

Funktsiya hosilasining ta`rifi, uning geometrik va mexanik ma`nosi.
Hosilaning tatbiqlari.
Reja
1.Hosila tushunchasiga doir masala.
2.Hosilaning ta`rifi
3.Funktsiya hosilalarini hisoblash qoidalari.
4.Hosilaning geometrik va mexanik manolari
Hosilaning ta’rifi:
y=f(x) funksiya X sohada aniqlangan bo’lsin. Erkli o’zgaruvchining birorta x=x<sub>0</sub> qiymatini olib X sohadan chiq-maydigan x<sub>0</sub>+x orttirma beramiz, u holda y=f(x<sub>0</sub>+x)-f(x<sub>0</sub>) funksiya orttirmasi hosil bo’ladi.
Ta’rif: y=f(x) funksiyasini x=x<sub>0</sub> nuqtadagi funksiya orttirmasi u ni argument orttirmasi x ga bo’lgan nisbatini x0 dagi limiti mavjud bo’lsa, bu limit berilgan y=f(x) funksiyasini x=x<sub>0</sub> nuqtadagi hosilasi deyiladi va yoki f′(x<sub>0</sub>) kabi yoziladi. Umumiy holatda esa y′<sub>x</sub>, f`(x); deb yoziladi,
=f′(x₀)= =
Bu ta’rifni (1) va (3) limitlarga tadbiq qilsak.
= =S′_t=S′(t) = =y′_x=f′(x)
Hosilasining mexanik ma’nosi.
Moddiy nuqtani t vaqt ichidagi S masofani bosish uchun harakatdagi tezligini topishdan iborat.

Hosilaning geometrik ma’nosi

Egri chiziqni biror nuqtasiga o’tkazilgan urinmani abtsissa o’qining musbat yo’nalishi bilan hosil qilgan burchak koeffitsienti tg ni topishdan iborat.
y-y₀ = k(x-x₀) k = tg = = y′_x = f′(x₀)
Elementar funksiyalarning hosilalarini topish.
1) y=c; y′=c′=0
2) y=xⁿ ; y′=nx^n-1
Isbot: y+y=(x+x)ⁿ
y=(x+x)ⁿ-xⁿ=xⁿ+nx^n-1x+…+ - xⁿ
=nx^n-1+
=nx^n-1+
y′_x=nx^n-1


=- y′_x
4) y=a^x ; y′=a^xlna
5) y=sinx; y′=cosx
Isboti:
y+y=sin(x+x) y=sin(x+x)-sinx
y=2sin cos(x+ ) = cos(x+ )
= cos(x+x))= cosx
6) y=cosx y′_x=-sinx
7) y=tgx; y′_x=
Isboti:

Teskari funksiyaning hosilasi.
u=f(x) funksiyasi x=x₀ nuqtada aniqlangan uzluksiz bo’lib, 1-tartibli hosilaga egadir.
Teorema: agar y=f(x) funksiyasi x=x₀ nuqtada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, f′(x₀)0 hosilaga ega bo’lsa, u holda bu funksiyaga teskari bo’lgan x=(u) funksiyasi u=u₀ nuqtada x′_u yoki ′(u₀) hosilaga ega bo’lib, x′_y= bo’ladi.
HOSILANI HISOBLASH QOIDALARI.
Biz elementar funksiyalarni hisoblashni o’rgandik. Endigi bizni asosiy maqsad chekli sondagi arifmetik amallar va superpozitsiyalar vositasida elementar funksiyalardan tuzilgan ixtiyoriy funksiyaning hosilasini hisoblash imkonini beruvchi qoidalarni ko’rib chiqamiz.
1. Agar u=u(x) funksiyasi x=x₀ nuqtada hosilaga ega bo’lsa u holda y=cu(x) funksiyasi ham hosilaga ega bo’lib, [cu(x)]′=cu′(x) bo’ladi. Isbot: y=cu(x) desak bu funksiyani orttirmasi y+y=cu(x+x) bo’ladi.
Bundan y=cu(x+x)-cu(x) |:x