Fur’e integrali Reja: I

Fur’e usulining umumiy sxemasi.
Fur’e usulining faqat tor tebranish tenglamasi uchun emas, balki umumiyroq tenglamalar uchun ham qo’llash mumkin. Biz aralash masalani yechishda Furye
usulini, olingan natijalarni qat’iy asoslamasdan bayon qilamiz.
Ushbu


giperbolik tipdagi tenglamani tekshiramiz, bu yerda , , va -
uzluksiz funksiyalar, shu bilan birga , , .
tenglamaning


chegaraviy, bunda , , , o’zgarmas sonlar, , va
,
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Avvalo tenglamaning trivial bo’lmagan va chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini

ko’rinishda izlaymiz. Agar bunday yechim mavjud bo’lsa, uni tenglamaga
qo’yib, va funksiyalar qanoatlantirishi zarur bo’lgan tenglamani hosil
qilamiz:

yoki

Bu tenglikning chap tomoni faqat ga, o’ng tomoni esa faqat ga bog’liq
bo’lgani uchun, bu tenglik o’zgarmas songa teng bo’lgandagina o’rinli bo’ladi. U
o’zgarmas sonni - orqali belgilab olamiz.
U holda noma’lum va funksiyalarni aniqlash uchun ikkita oddiy
differensial tenglama hosil qilamiz:


tenglamaning shartlarni qanoatlantiruvchi ko’rinishdagi trivial
bo’lmagan yechimini topish uchun funksiya
,
shartlarni qanoatlantirishi kerak.
Shunday qilib, xos qiymatlar to’g’risidagi quyidagi masalaga keldik: parametrning shunday qiymatlarini topish kerakki, bu qiymatlarda
tenglamaning chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi trivial bo’lmagan
yechimi mavjud bo’lsin.
, masalaning trivial bo’lmagan yechimlari mavjud bo’lgan l ning qiymatlari xos qiymatlar (sonlar), bu qiymatlarga mos yechimlar esa xos funksiyalar deyiladi. Barcha xos qiymatlar to’plamini berilgan masalaning spektri
deb ataladi.
, masala xos funksiyalari va xos qiymatlarining asosiy xossalarini keltiramiz.
1) Masala xos qiymatlarining cheksiz

to’plami mavjuddir.
2) Har bir xos qiymatga o’zgarmas ko’paytuvchi aniqligida xos
funksiya mos keladi, ya’ni ga ikkita va xos funksiyalar mos
kelsa, u holda bo’ladi, bu yerda -o’zgarmas son.
Haqiqatdan ham va funksiyalar farazimizga asosan
,
.
va shartlarni qanoatlantiradi, u holda tenglama va
yechimlarining Bronskiy determinanti

nuqtada nolga teng bo’ladi. Demak, va funksiyalar chiziqli
bo’g’liq.
Yuqorida aytib o’tilgan ko’paytuvchini shunday tanlab olamizki,
shartni qanoatlantiruvchi xos funksiyalar normallangan deyiladi.
_{3) Turli xos qiymatlarga mos keladigan xos funksiyalar} kesmada
vazn bilan ortogonal bo’ladi, ya’ni

bo’ladi .
Haqiqatdan ham, va funksiyalar , xos qiymatlarga mos xos funksiyalar bo’lgani uchun tenglamani qanoatlantiradi, ya’ni

bo’ladi. Bu tenglamalarning birinchisini ga ,ikkinchisini esa ga
ko’paytirib, hadlab ayiramiz:
,
bu tenglikni x bo’yicha dan gacha integrallaymiz:

chegaraviy shartlarga binoan, o’ng tomondagi ifoda nolga teng, u holda

bo’ladi. Bundan bo’lgani uchun

bo’ladi.
4) bo’lganda barcha xos qiymatlar musbat bo’ladi.
Bu xossani isbotlash uchun ga mos xos funksiyani normallangan deb hisoblaymiz. xos funksiya bo’lgani uchun

bo’ladi.
Bu tenglikning har ikki tomonini ga ko’paytirib, dan gacha
integrallaymiz. tenglikni e’tiborga olsak, u holda

bo’ladi.
Bundan, birinchi qo’shiluvchini bo’laklab integrallab, ushbu

tenglikka ega bo’lamiz. Integral tashqarisidagi ifoda musbat bo’lmasin, ya’ni

deb faraz qilamiz. Shart bo’yicha , bo’lgani uchun
tenglikdan darhol , masala xos qiymatlarini musbat ekanligi kelib
chiqadi. shart tatbiqda eng ko’p uchraydigan
1) , ; 2) , ;
3) , ,
chegaraviy shartlarda bajariladi.
va masala xos qiymatlari va xos funksiyalarining ayrim xossalarini aniqlab olganimizdan so’ng, endi tenglamaga murojaat qilamiz.
Biz tenglamaning bo’lgandagi umumiy yechimi, uni orqali belgilab
olsak,

ko’rinishga ega bo’ladi, bunda va o’zgarmas sonlar.
Shunday qilib, ga asosan har bir

funksiya tenglamaning chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi
yechimidan iborat bo’ladi. boshlang’ich shartlarni qanoatlantirish uchun,
ushbu

qatorni tuzamiz. Agar bu qator va uni , bo’yicha ikki marta hadlab
differensiallash natijasida hosil bo’lgan qatorlar tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u
holda, ravshanki uning yig’indisi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi
tenglamaning yechimi bo’ladi.
boshlang’ich shartlarning bajarilishi uchun


tengliklarning bajarilishi zarurdir.
Shunday qilib, biz ixtiyoriy funksiyani , chegaraviy masalaning xos funksiyalari bo’yicha qatorga yoyish masalasiga keldik.
Faraz qilaylik, ixtiyoriy funksiya , chegaraviy masalaning xos funksiyalar bo’yicha

qator ko’rinishda ifodalanadigan bo’lsin. qatorni tekis yaqinlashuvchi deb
hisoblab, uning koeffisientlarini aniqlashimiz mumkin. Buning uchun
tenglikning har ikki tomonini ga ko’paytirib, so’ngra bo’yicha
dan gacha oraliqda integrallaymiz. U holda va ga asosan

T e o r e m a.(V.A.Steklov).Ixtiyoriy birinchi tartibli uzluksiz, ikkinchi
tartibli bo’lak-bo’lak uzluksiz hosilaga ega, chegaraviy shartlarni
qanoatlantiruvchi funksiya, , chegaraviy masalaning xos
funksiyalari bo’yicha absolyut va tekis yaqinlashuvchi qatorga yoyiladi.
va yoyilmalarning koeffisientlarini topish uchun
formulani qo’llaymiz. U holda


Agar qator va uni , bo’yicha ikki marta hadlab differensiallash
natijasida hosil bo’lgan qatorlar tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, va
koeffisientlarning topilgan qiymatlarini qatorga qo’yib , ,
aralash masalaning yechimini topamiz.


Xulosa
Ushbu kurs ishida Fur’e integrallari mavzusini yoritdim.Mavzuni yoritishda ko’plab adabiyot va qo’llanmalardan foydalanildi. Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat. Asosiy qism esa to’rtta mavzuga bo’lingan holda yozildi. Birinchi mavzuda Fur’e integrallarining ta’rifi, ikkinchi mavzuda juft va toq funksiyalarning fur’e integrali, uchinchi mavzuda fur’e integralining tor tebranishda qo’llanilishi, to’rtinchi mavzuda esa fur’e usulining umumiy sxemasi keltirildi.
Integral tushunchasining tarixi kvadraturalarni topish muammolari bilan chambarchas bog'liq, ya'ni maydonlarni hisoblash uchun. Jismlarning sirt maydonlari va hajmlarini hisoblashda matematiklar ham ishtirok etgan. Shakllar sohalari va jismlar hajmlari uchun yangi formulalarni olgan birinchi yevropalik matematik mashhur astronom I.Kepler edi. Integralning zamonaviy yozuvi Leybnitsga borib taqaladi, u egri chiziqli trapezoidning maydoni, kenglik va balandlikka ega cheksiz yupqa chiziqlar maydonlarining yig'indisi degan fikrni ifodalagan. Integral belgisi 1675-yildan beri kiritila boshlandi, integral hisoblash masalalari esa 1696-yildan beri ko'rib chiqila boshlandi. Garchi integral asosan matematiklar tomonidan o'rganilsa-da, bu fanga fiziklar ham hissa qo'shgan. Fizikaning deyarli hech bir formulasi differentsial va integral hisoblarsiz to'liq emas.Shu jumladan Fur’e integrallari ham keng qo’llaniladi.
Fur’e integralini tor tebranishga qo’llanilishi juda katta nazariy va amaliy ahamiyatga ega. Fizika va texnikaning ko’plab masalalari, juda ko’p amaliy va iqtisodiy masalalar fur’e integrallari orqali yechiladi.
Xulosa qilib aytganda, men, bu nazariyani o`rganish jarayonida juda ko`p tushunchalarga ega bo`ldim. Shu bilan birga murakkab matematik tushunchalarni tabiatdagi ba’zi ma’nolariga tushunib yetdim. Shuning uchun ham bu mavzu qiziqarli va muhim deb hisoblayman.

Foydalanilgan adabiyotlar.
1.Y.U.Soatov ‘Oliy matematika’. T:O`zbekiston 1996
2.T.Azlarov, N.Mansurov ‘Matematik analiz’ 2-qism.T:O’qituvchi 1989.
3.Fillipov A.F ‘sbornik zadach po differentsialnim uravneniyam’. M:Nauka, 1979
4.M.Solahiddinov ‘Matematik fizika tenglamalari’ T:O’zbekiston 2002.
5.Fixtengols G.M Kurs diferensialnogo i integralnogo ischesleniya, 1 t.M.<>, 2001.

Telegramm kanallari:

1. t.me/Elektron_adabiyot_mat_analiz
2. t.me/matematik_analiz