G. B. Fexner (1801-1887) koeffitsienti. Bu koeffitsien

s


12
_m2_n3_n

Bu yerda: m- omillar soni; n- tekislanadigan birliklar soni; s-ranglarni kvadrat chetlanishi.

2

11

 



r










nn
_nmij


n

( )

S r
ij




2

1

1

Omil belgi bilan natijaviy belgi o’rtasidagi bog’liqlik zichligini o’rganishda yuqorida ko’rib chiqilgan

sodda(oddiy) metodlardan tashqari korrelyatsiya koeffitsienti, korrelyatsiya indeksi va korrelyatsion
nisbat ko’rsatkichlari ham keng qo’llaniladi.

To’plam birliklari guruhlariga ajratilgan bo’lsa va omil belgi bilan natijaviy belgi o’rtasida to’g’ri chiziqli bog’lanish mavjud bo’lsa bog’lanish zichligi korrelyatsiya koeffitsienti orqali hisobanadi. Korrelyatsiya koeffitsientini quyidagi formulalar bilan hisoblash mumkin.

x

 

i

xxyy

y

_ i^{ }
¹

n
 ^r n

yoki

nxy x y

 


  



_{nx2 x}2_{ny2 y}2
r



_ __ _

n

xy



x y


_

2

2





 





   
r











n

n

y

x

2

2















y

x
^^





Bu ko’rsatkichni birinchi bo’lib Angliyalik olimlar Golton va Pirsonlar taklif qilishgan. Korrelyatsiya
koeffitsienti –1 dan +1 gacha oraliqda bo’ladi. Agar korrelyatsiya koeffitsienti manfiy ishora chiqsa, bog’lanish teskari, musbat bo’lsa to’g’ri chiziqli bog’lanish mavjudligi tan olinadi. Aynan shu xususiyat

bilan bu ko’rsatkich boshqa ko’rsatkichlardan farq qiladi va bu uning boshqalardan ustunligidir.

Korrelyatsiya koeffitsienti birga yaqinlashib borgan sari bog’lanish kuchi oshib boraveradi va aksincha. Bog’lanish zichligini harakterlovchi ko’rsatkichlarga sifat jihatdan baho berish uchun statistikada
Cheddok shkalalari ishlatiladi.

Cheddok shkalalari

	Bog’lanish zichligi
	Bog’lanish kuchi

0,1-0,3 0,3-0,5 0,5-0,7 0,7-0,9 0,9-0,99

bo’sh o’rtamiyona sezilarli yuqori juda ham

yuqori

Ma’lumki, omil belgi bilan natijaviy belgi o’rtasidagi bog’lanish zichligi birga teng bo’la olmaydi. Agar birga teng bo’lsa, ular o’rtasida korrelyatsion bog’lanish emas, balki funktsional bog’lanish mavjuddir. Agar nolga teng bo’lsa, ular o’rtasida bog’liqlik umuman yo’q.

Cheddok shkalalaridan ko’rinib turibdiki, bog’liqlikning qiymatlari 0,7dan oshgan taqdirda omil belgi

bilan natijaviy belgi o’rtasida aloqa yuqori, 0,9 bo’lganda esa juda ham yuqori. Bu holatni determinatsiya koeffitsientiga ko’chirsak, natijaviy belgining variatsiyasining yarmidan ko’prog’i omil belgining
o’zgarishiga to’g’ri kelmoqda. Bu korrelyatsion bog’lanishni o’rganishda, statistik tahlil professional
darajada qo’llanganligini va tenglamalar parametrlari amaliyotda bemalol qo’llanilishi mumkinligin
ko’rsatadi. Oila a’zolarining daromad summasi va shu oilaning iste’mol savatidagi eng yuqori kaloriyali
(ikra, shokolad va go’sht) tovarlarga bo’lgan sarflar o’rtasidagi bog’lanish zichligini o’rganish uchun
korrelyatsiya koeffitsientini hisoblaymiz:

Demak, oila a’zolarining daromadlari yig’indisi va eng yuqori kaloriyaga ega bo’lgan tovarlarning

iste’moliga qilinadigan sarf-xarajat o’rtasidagi bog’liqlik juda ham yuqori.

Korrelyatsiya koeffitsientini korrelyatsion jadval ma’lumotlari asosida quyidagi formula bilan ham

hisoblash mumkin.:

nxy x y

 


  



²_{( )}2 ²_{( )}2

x x y y

xy x y

f f f
nx x ny y
r


f f f f
_ _ 

Omil belgi bilan natijaviy belgi o’rtasidagi bog’liqlik zichligini o’rganishda korrelyatsion nisbat va

korrelyatsiya indeksidan ham keng foydalanamiz.

Korrelyatsion nisbat guruhlararo dispersiyani umumiy dispersiyaga nisbatini kvadrat ildizdan chiqqan natijasiga tengdir, ya’ni







2

2

bu erda: ^2-guruhlararo dispersiya, ^2- umumiy dispersiya.

Ma’lumki, korrelyatsiya koeffitsienti faqat to’g’ri chiziqli bog’lanishlarda qo’llaniladi. Bundan tashqari uni hisoblash uchun tenglamalar tizimini echishning keragi yo’q. Shu erda savol tug’iladi-agar egri chiziqli
bog’lanishlarda aloqa bog’lanish chizig’i qanday o’lchanadi? Teskari bog’lanish mavjud bo’lsa, omil belgi bilan natijaviy belgi o’rtasidagi bog’liqlik zichligini nazariy korrelyatsion nisbat yoki korrelyatsiya indeksi orqali hisoblasa bo’ladi. Korrelyatsiya indeksi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

, bu yerda ⁿ

yx

2



y_xy
R

y_x

2

_2_^()2

, ⁿ

2

yy_x



^



yy_x

2

2

_
R y yy_x


y
2_^{( )}

Bu ko’rsatkich ham 0 va 1 orlig’ida bo’ladi. Agar korrelyatsiya indeksi nolga teng bo’lsa omil belgi bilan natijaviy belgi o’rtasida hech qanday bog’liqlik yo’q. Bu degani (R=0) natijaviy belgini o’rtacha darajasi

2 2

^y_x^y_{. Agarda korrelyatsiya}

indeksi birga teng bo’lsa, omil (x) belgi bilan natijaviy (u) belgi o’rtasidagi bog’liqlik funktsional, to’liq.

tekislangan darajalarning o’rtacha darajasiga tengdir: ^YYx yoki


Bunday hol ro’y berishi mumkin, qachonki

_yyx0
ga, ya’ni ^Yx chizig’i bilan ^Y chizig’i bir-biriga to’la

mos kelsa. Boshqacha aytganda Y ni o’zgarish to’liq X ni o’zgarish hisobidan amalga oshsa.

Korrelyatsiya indeksining boshqa ko’rsatkichlardan yana bir farqi, u bog’lanish zichligi aloqadorlikni
hamma turlari bo’yicha baholay oladi. Shu bilan birga, Y hadlarini turli tenglamalar yordamida tekkislab,

2

biz dispersiyani miqdori bo’yicha (qoldiq variatsiyani ta’riflovchi ko’rsatkich-
^yyx_{) o’rganayotgan}

bog’lanish chizig’ini qaysi bir tenglama eng yaxshi tekislashi haqida hukm chiqarishimiz mumkin. Esda tutish zarurki, korrelyatsion nisbat ham, korrelyatsiya indeksi ham faqat bog’lanish zichligini o’lchaydi, ular bog’lanish yo’nalishini ko’rsatmaydi.

Tekshiruvchi oldiga bir necha omillarning natijaviy belgiga ta’sirini o’rganish muammosi qo’yilsa, u


paytda ko’p omilli regressiya tenglamalari echilib (masalan,

Y_a₀a₁xa₂
), omillar va natijaviy
belgi o’rtasidagi bog’lanish zichligi ko’p sonli korrelyatsiya koeffitsienti orqali hisoblanadi. Ko’p sonli korrelyatsiya koeffitsienti quyidagi formula bilan hisoblanadi:





2

r r rrr

  

2

(,) ₁



xz

2



R


xy zyxyzyxz yxz _r

bu erda: ^rxy,rzy,rxz-juft korrelyatsiya koeffitsientlari.

,

Demak, ko’p sonli korrelyatsiya koeffitsientini aniqlash uchun dastlab juft korrelyatsiya koeffitsientlari aniqlanadi, so’ngra ko’p sonli korrelyatsiya koeffitsientini aniqlasak bo’ladi. Oxirgi koeffitsient juft

korrelyatsiya koeffitsientlaridan yuqori bo’ladi hamda Y bilan x1 va x2 o’rtasidagi bog’lanishni yanada to’laroq tavsiflaydi.

14.2. O’zaro bog’lanishlarni grafikda aks ettirish

Shunday fikr mavjudki, ya’ni jinoyat darajasi va ishsizlik darajasi kuchli bog’liqlikka ega. Boshqa bir
ommabop so’zlardan biri, chekish va o’pka raki o’zaro bog’liq. Ba’zi insonlar ishonishadiki, Dou-jons
Sanoat indeksi va modadagi yubkalarning uzunligi ham bir biri bilan bog’liq. Bog’liqlik, bog’langan so’zlari ikkita o’zgaruvchi – yuqorida qayd etilgan misolda esa, ikkita sonli o’zgaruvchi orasidagi bog’liqlikni
nazarda tutadi.

Ikkita miqdoriy o’zgaruvchilar orasidagi o’zaro bog’liqlik deb ataluvchi bog’liqlikni tasvirlashning bir yo’li

– bu sochilgan nuqtali grafikni chizishdir. Sochilgan nuqtali grafik – bu ikki o’lchamli grafik bo’lib,
o’zgaruvchilar birining qiymati vertikal o’q bo’yicha, boshqasi esa gorizontal o’q bo’yicha joylashadi.
Masalan, 7.1-rasmda 26 ta korxona va omborxonalar tanlanma to’plami uchun binodagi mexanik ish
(isitish, havo aylanishi) qiymatining (1) xona hajmiga (2) nisbatini ifodalovchi grafik sochilgan nuqtali
grafik hisoblanadi. E’tibor bersangiz, sochilgan nuqtali grafik xona hajmining ortishi bilan mexanik qiymat ortishining umumiy tendentsiyasini ko’rsatadi.

Bir o’zgaruvchining ortishi ikkinchi o’zgaruvchining ortishiga olib kelsa, biz bu ikki o’zgaruvchini “to’g’ri

bog’langan” yoki “to’g’ri koorelyatsionbog’lanishgaega” deb aytamiz*. 7.1-rasm mexanik qiymat va

xona hajmi o’zaro to’g’ri korrelyatsion bog’lagishga ega ekanligini nazarda tutadi. Huddi shunga

o’xshash, agar bir o’zgaruvchining ortishi bilan boshqasi kamaysa, u holda biz ushbu o’zgaruvchilar
“teskari koorelyatsion bog’lanishga ega” deb aytamiz. 7.2-rasm to’g’ri bog’lanishni (7.2a-rasm), teskari
bog’lanishni (7.2b-rasm), hamda ikki o’zgaruvchi bog’liqlikka ega bo’lmagan holatlarni (7.3c-rasm)
tasvirlovchi gipotetik tarqaluvchi rasmlarni aks ettiradi.

1-rasm. Narxning maydonga bog’liqligini tasvirlovchi nuqtali diagramma

*Korrelyatsiyaning haqiqiy tarifi 11-bobda berilgan. U yerda biz korrelyatsiya ikkita miqdoriy o’zgaruvchilar orasidagi chiziqli (to’g’ri chiziqli) bog’lanish kuchini o’lchashini o’rganamiz.

2-o’zgaruvchi 2-o’zgaruvchi 2-o’zgaruvchi

a.To’g’ri bog’lanish b.Teskari bog’lanish c.Bog’lanish mavjud

emas

14.2-rasm. Nazariy ikki omilli bog’lanishlar

Ikki o’zgaruvchili ma’lumotlarnigrafikda tasvirlash – shifoxonaga murojaat qilish

Muammo. Shifoxona bemorini boshqarishda qo’llaniladigan birlik-omil deb ataladi. Misol uchun, vena ichiga dori quyish vositalari, ignalar, soqol olish komplekti, hojat uchun tuvak, tagliklar, kiyimlar, dori
vositalari va hattoki kod kartochkalari bo’lishi mumkin. Bayonet Point Hospital (St. Petersburg,
Florida)dagi yurak arteriyasi bo’limida yaqinda har bir bemorga to’g’ri keluvchi omillar va ularning
shifoxonada qolish davomiyligi (kunlarda) orasidagi bog’liqlik kuzatildi. 50 ta yurak arteriyasi bilan
og’rigan bemorlarning 50 tasi bo’yicha ushbu ikki o’zgaruvchi to’g’risidagi ma’lumotlar 2.10-jadvalda
berilgan. Omillar soni va bemorlarning shifoxonada qolish davomiyligi o’rtasidagi bog’liqlikni tasvirlash uchun sochilgan nuqtali grafikdan foydalaning.

1-jadval

Davolanuvchilar omillari va shifoxonada yotish davomiyligi


Omillar tartibi

Omillar tartibi

Yotish davomiyligi (kun)

			Yotish davomiyligi (kun)
231	9	354	11
323	7	142	7
113	8	286	9
208	5	341	10
162	4	201	5
117	4	158	11
159	6	243	6
169	9	156	6
55	6	184	7

1-o’zgaruvchi

1-o’zgaruvchi

1-o’zgaruvchi

77	3	115	4
103	4	202	6
147	6	206	5
230	6	360	6
78	3	84	3
525	9	331	9
121	7	302	7
248	5	63	2
233	8	110	2
260	4	131	5
224	7	364	4
472	12	180	7
220	8	134	6
383	6	401	15
301	9	155	4
262	7	338	8

Manba: Bayonet Point Hospital, Coronary Care Unit

14..37-rasm. 2.10-jadvaldagi davolanuvchilar omillari uchun SPSS sochilgan nuqtali grafigi

YechishGrafikni qo’lda chizishdan ko’ra biz, statistik dasturiy to’plamga murojjat qilamiz. Yotish

davomiyligi (LOS) vertikal o’qda va omillar soni (FACTORS) gorizontal o’qda joylashgan. 2.10-jadvaldagi ma’lumotlar uchun SPSS grafigi 2.37-rasmda ko’rsatilgan. Garchi grafikdagi nuqtalar, juda yuqori
variatsiyani namoyish qilsada, sochilgan nuqtali grafik o’sish tendentsiyasi mavjudligini aniq ko’rsatadi. Ko’rinadiki, bemorning qolish davomiyligi bemorga qo’llaniladigan omillarning soni bilan to’g’ri
korrelyatsion bog’lanishga ega.

Ortga nazar tashlash

Agar shifoxona ma’muriyati 2.37-rasmda ko’rsatilgan tanlanma to’plam tendentsiyasi bosh to’plamdagi tendentsiyani aniq tasvirlashiga ishonchlari komil bo’lsa, u holda ular ushbu ma’lumotlardan kelajakdagi bemorlarning yotish davomiyligi bo’yicha pronozlarini takomillashtirishda foydalanishlari mumkin.

NAZORAT SAVOLLARI:

1.Spirmen va Kendel koeffitsentlari nimani o’lchaydi va qanday aniqlanadi?

2. Korrelyatsiya koeffitsenti nima va qaysi oraliqlarda yotadi?

3.Korrelyatsiya koeffitsentidan korrelyatsion nisbat va korrelyatsiya indeksi nima bilan farq qiladi?

4. Ko’p omilli korrelyatsiya deganda nimani tushunasiz?

5.Fexner koeffitsenti nimani anglatadi?

Asosiy adabiyotlar

Ефимова Н.В. Практикум по общей теории статистики. 2-е изд. М: Финансы и статистика. 2010.
И.И.Елисеева, М.М.Юзбашев. Общая теория статистики. 5-е изд. М.: Финансы и статистика, 2010. Плис А.И. Практикум по прикладной статистике в средеSPSS: 1-2 ч. – М.: Финансы и статистика,
2010, 288 с.

Soatov N.M. Statistika. Darslik. – T.: Tibbiyot nashriyoti, 2003, 405-484 b.

Справочник по прикладной статистике. Под.ред. Э.Ллойда, У.Лидермана. Пер.с анг. М.: «Финансы и статистика», 1989

В.Плюта. Сравнительный многомерный анализ в экономическом моделировании. Пер. с польск. М.: «Финансы и статистика», 1989

Ферстер Э., Ренц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа. Пер. с немец. М.:
«Финансы и статистика», 1983

Куланчев А.П. Методы и средства анализа данных в среде Windows. Stadio 6. М.: НПО

информатика и компьютеры, 1996

Математическая экономика на персональном компьютере. Под.ред. М.Кубонива. Перев. с японс. М.: «Финансы и статистика», 1991.