Gamilton sistemalarida o’zgaruvchilarni almashtirish. Almashtirishning kanoniklik kriteriyasi. Erkin kanonik almashtirishlar

Almashtirishning kanoniklik kriteriyasi. Lagranj qavslari
Yuqorida keltirilgan kanonik almashtirish shartida qatnashuvchi o’zaro bog’liq bo’lmagan va o’zgaruvchilarning funktsiyasi bo’lgan
(7)
almashtirishlar kanonik bo’lishi uchun qanday shartlarni qanoatlantirishi kerakligini ko’rib chiqamiz.
Faraz qilamiz (6) ko’rinishdagi almashtirishlar kanonik almashtirishlardan iborat bo’lsin. U holda bu almashtirishlar uchun quyidagi
(8)
ayniyat o’rinli bo’lishi kerak.
Endi vaqtning ixtiyoriy fiksirlangan qiymatini olamiz. U holda yuqoridagi (8) ayniyat
(9)
ko’rinishga ega bo’ladi.
Bu tenglama valentligi bo’lgan va fiksirlangan vaqtdagi

kanonik almashtirishlarni aniqlaydi.
Endi teskarisi, yahni (9) tenglama bilan aniqlanuvchi barcha almashtirishlar vaqtning ixtiyoriy fiksirlangan qiymatida bir xil valentlik almashtirishlar bo’lsin.
Bu holda almashtirishlar natijasida hosil bo’lgan Gamilton funktsiyasini quyidagicha
(10)
aniqlab va bu tenglamani vaqtning variatsiyasiga ko’paytirib (9) va (10) tenglamalarni ikki tomonini qo’shsak (8) ifodaga ega bo’lamiz.
SHunday qilib, vaqtga oshkor ravishda bog’liq bo’lgan

almashtirishlar kanonik bo’lishi uchun, ixtiyoriy fiksirlangan vaqtni qiymatida

almashtirishlar bir xil valentlik kanonik almashtirishlar bo’lishi zarur va yetarlidir.
Bizga quyidagi almashtirishlar berilgan bo’lsin:
(11)
Bu holda almashtirishlarni kanonikligini aniqlovchi ayniyat quyidagicha aniqlanadi:
. (12)
Agar bu tenglamadagi larni o’zgaruvchilar orqali ifodalasak (7) yordamida
(13)
tenglikni hosil qilamiz.
Bu tenglikdagi funktsiyalar uchun

ifodalarga ega bo’lamiz.
Almashtirishlar kanonikligi (12) tenglamaning chap qismida turgan ifodaning to’liq differentsiallik shartidan aniqlanadi: