Gamilton sistemalarida o’zgaruvchilarni almashtirish. Almashtirishning kanoniklik kriteriyasi. Erkin kanonik almashtirishlar

Erkin kanonik almashtirishlar
Agar kanonik almashtirishlar uchun quyidagi qo’shimcha
shart bajarilsa, u holda bu almashtirishlar erkin kanonik almashtirishlar deyiladi. Bu holda yangi o’zgaruvchilar sifatida larni olish mumkin. Haqiqatdan ham, qo’shimcha quyilgan shart kanonik almashtirishlardagi birinchi ta tenglamadagi umumlashgan impulg’slar larni qolgan o’zgaruvchilar orqali ifodalash imkoniyatini beradi. Bu holda keltirib chiqaruvchi funktsiyani quyidagi ko’rinishda olish mumkin, yahni yangi o’zgaruvchilar funktsiyasi deb qarash mumkin va erkin kanonik almashtirishlar sharti
(14)
ko’rinishga keladi.
Variatsiyalar oldidagi koeffitsientlarni tenglab
, (15)
ifodalarni hosil qilamiz.
Bu tenglamalar sistemasi erkin kanonik almashtirishlarni aniqlaydi. bo’lgan holda almashtirishlar erkin univalent kanonik almashtirishlar deyiladi. (14) tenglamalar sistemasi uchun quyidagi xususiy hol o’rinli. Agarda ga teng bo’lsa, u holda yahni keltirib chiqaruvchi funktsiya vaqtga oshkor ravishda bog’liq bo’lmaydi.
Erkin kanonik almashtirishlar shartidan, almashtirishlar vaqtga oshkor ravishda bog’liq bo’lmagan holda Gamilton funktsiyasining ko’rinishi ko’p ham o’zgarmasligi kelib chiqadi. SHuning uchun Gamilton funktsiyasini oddiyroq ko’rinishga keltirish uchun almashtirishlarni vaqtga oshkor ravishda bog’liq bo’lgan holda olinadi.
Mustahkamlash savollari:

1. 
   Nuqtaviy almashtirish deb nimani tushunasiz?
   

2.Kanonik almashtirishlar qanday bajariladi?
3.To`la kanonik almashtirish deganda nimani tushunish kerak?
4.Gamilton kannik tnglamaar umumiy ko’rinishini yozing?
5.Siklik koordinatalar deb nimaga aytiladi?
6.Kanonik tenglamalarni integrallarini yozib ko’sating?
7.Gamilton-Yakobi tenglamasi qaysi shakilda yoziladi?
8.Qisqartirilgan Gamilton-Yakobi tenglamasi qaysi ko’rinishda yoziladi?
Kanonik o’zgaruvchilarning kanonik tenglamalarni qanoatlantiruvchi har qanday qiymatlarida o’zgarmay qoladigan funktsiyaga kanonik tenglamalarning birinchi integrallari deyiladi. Birinchi integral

ko’rinishga ega.
Faraz qilaylik, kanonik tenglamalarning boshlang’ich ta birinchi integrallari berilgan bulsin,

(13.9)

bu yerda o’zgarmas kattalik. Umuman, birinchi integrallar bir-biriga bog’liq yoki bog’liq bo’lmagan tenglamalar bilan ifodalanadi. Kanonik tenglamalarning (13.9) tenglamalar bilan ifodalanuvchi birinchi integrallarini bir-biriga bog’liq bo’lmagan tenglamalar deb qaraymiz.
Agar bo’lib, (13.9) sistemaga kiruvchi barcha tenglamalar bir-biriga bogliq bo’lmasa, bu (13.67)sistema birinchi integrallarning to’liq sistemasini tashkil qiladi. birinchi integrallardan iborat to’liq sistema umumlashgan koordinatalar va umumlashgan impulьslarga nisbatan yechilib,

ko’rinishda ifodalanishi mumkin, ya’ni barcha umumlashgan koordinatalar va umumlashgan impulьslar vaqtning va o’zgarmas sonlarning ma’lum funktsiyalari sifatida ifodalanadi. Bu o’zgarmas sonlar ixtiyoriy bulib, ular odatdagidek boshlang’ich shartlardan aniqlanadi. SHunday qilib ta birbiriga bog’liq bulmagan birinchi integrallar boshlang’ich shartlarning berilishi bilan mexanik sistema harakatini to’liq aniqlaydi.
Kanonik tenglamalarning birinchi integrallarini bevosita aniqlash mumkin bo’lgan ba’zi xususiy hollarni kurib chiqamiz:
1. Ma’lumki, mexanik sistemaga statsionar bog’lanishlar qo’yilgan bulsa, Gamilьton funktsiyasi sistemaning to’liq mexanik energiyasini ifodalaydi. Potentsial kuchlar maydonida harakatlanuvchi sistema uchun to’liq mexanik energiya o’zgarmas bo’lganidan

kelib chiqadi. SHunday qilib biz birinchi integralni aniqladik. to’liq mexanik energiya bo’lgani uchun bu integralga energiya integrali deyiladi.
2. Faraz qilaylik, sistemaning barcha umumlashgan koordinatalari tsiklik bo’lsin. U holda bu koordinatalar Lagranj funktsiyasiga oshkor ko’rinishda kirmaganidek, Gamilьton funktsiyasida ham oshkor ravishda qatnashmaydi. Gamilьton funktsiyasi

ko’rinishda bo’ladi. Kanonik tenglamalardan ta

birinchi integrallar hosil bo’ladi. Bu integrallar tsiklik integrallar deyiladi. Gamilьton funktsiyasidagi umumlashgan impulьslar endi o’zgarmaslar bilan almashtirilishi mumkin:

Sistemaga statsionar bog’lanishlar qo’yilgan bo’lsa, Gamilьton funktsiyasi vaqtga bog’liq bulmaydi va kanonik tenglamalarning ikkinchi gruppasi uchun

munosabatlar hosil buladi. Bu yerda biror o’zgarmas sonlar. Bu ifodalardan esa

tenglamalar hosil bo’ladi. SHunday qilib statsionar bog’lanishlar ta’siridagi golonom sistema uchun barcha umumlashgan koordinatalar tsiklik bo’lgan holda kanonik tenglamalar osongina integrallanib, umumlashgan koordinatalar vaqtning chiziqli funktsiyalari sifatida ifodalanadi.
3. Endi ta umumlashgan koordinatalardan tasi; tsiklik bulgan holni qaraymiz: ni tsiklik koordinatalar, ni esa tsiklik bo’lmagan koordinatalar deylik. Bu holda Gamilьton funktsiyasi tsiklik bo’lmagan koordinatalar va ular tegishli bo’lgan impulьslarga bog’liq bo’ladi. Kanonik tenglamalarga asosan tsiklik koordinatalarga tegishli impulьslar o’zgarmas bo’lgani uchun Gamilьton funktsiyasida bu impulьslar o’rniga tegishli o’zgarmaslar qo’yiladi. Binobarin, Gamilьton funktsiyasi

(13.10)

ko’rinishda bo’ladi. TSiklik bo’lmagan koordinatalar ularga mos impulьslar uchun kanonik tenglamalarni yozamiz:

(13.11)

Bu tenglamalar tsiklik koordinatalarga va ularga mos impulьslarga bog’liq bo’lmagan mustaqil tenglamalardan iborat sistemani tashkil qiladi.
Faraz qilaylik, (13.11) sistema integrallansin, ya’ni, barcha tsiklik bo’lmagan koordinatalar va ularga mos impulьslar vaqgning ma’lum funktsiyalari sifatida ifodalansin. (13.11) tenglamalarning soni bo’lmagani uchun 6u fnktsiyalar ushbu tenglamalarni integrallash natijasida paydo bo’ladigan integral doimiylariga va (13.11) tenglamalardagi Gamilьton funktsiyasiga avvaldan kiruvchi ta o’zgarmaslarga bog’liq bo’ladi:

(13.12)

SHunday qilib bu yerda biz tsiklik bo’lmagan koordinalarni va ularga mos impulьslarni aniqlashning umumiy yo’lini ko’rsatdik.
TSiklik koordinatalarga mos impulьslar esa yukorida ko’rsatilganidek o’zgarmaslarga aynan teng bo’ladi. TSiklik koordinatalarni aniqlash endi quyidagicha bajariladi. TSiklik koordinatalar uchun kanonik tenglamalar yoziladi va tenglamalardagi Gamilьton funktsiyalarida tsiklik koordinatalarga mos impulьslar o’rniga mos o’zgarmaslar qo’yiladi;

(13.13)

dagi tsiklik bo’lmagan koordinatalar va ularga xos impulьslar (13.12) ga asosan almashtiridadi. U holda Gamilьton funktsiyasi ta ixtiyoriy o’zgarmas sonlarga va vaqtga bog’liq bo’ladi. Binobarin, (13.13) tenglamalardan alohida-alohida bir-biriga bog’liq bo’lmagan holda o’zgaruvchilarni almashtirish va ularni

ko’rinishda yozish mumkin. Integrallash natijasida

(13.13)

ifodalar hosil bo’ladi. Integrallashda paydo bo’lgan o’zgarmaslarni hisobga olganda ixtiyoriy o’zgarmaslarning umumiy soni ya’ni kanonik tenglamalar soniga teng buladi. SHunday qilib ta tsiklik koordinatalar mavjud bulganda kanonik tenglamalardan tasinigina alohida olib integrallashga to’g’ri keladi. Ushbu ta tenglamalar integrallanganidan sung tsiklik koordinatalar (13.72) kvadraturalardan osongina aniqlanishi mumkin.
Sistemaga qo’yilgan bog’lanishlar statsionar bo’lgan holda, ma’lumki, , ( biror o’zgarmas sonlar) bo’lib, (13.13)dan
tenglamalar hosil bo’ladi. Ko’ramizki, bu holda tsiklik koordinatalar vaqtning chiziqli funktsiyalari buladi.