Gauss formulasi Peterson va Kodatsi formulalari

Egri chiziqli integrallar.
1.1- . Egri chiziqli integral
P(x,y) nuqta biror L tekis chiziq bo’ylab M nuqtadan N nuqtaga harakatlanayotgan bo’lsin. P nuqta miqtori va yo’nalishi o’zgaradigan, yani P nuqta koordinatalarning biror funksiyasi bo’lgan
F=F(P)
kuch qo’yilgan bo’lsin.
F kuchning P nuqtani M vaziyatdan N vaziyatga siljitishda bajargan A ishini hisoblaymiz (1.1.1-rasm).

1.1.1-rasm
Buning uchun MN egri chiziqni M₀=M, M₁, M₂, … ,M_n=N nuqtalar yordamida M dan N ga qarab ixtiyoriy n bo’lakka bo’lib chiqamiz va vektorni bilan belgilaymiz. F kuchning nuqtadagi miqdorini bilan belgilaymiz. U vaqtda skalyar ko’paytmani F kuchning yoy bo’yicha bajargan ishning taqribiy ifodasi deb qarash mumkin:

Endi
F=X(x,y)i+Y(x,y)j
bo’lsin, bundagi X(x,y) va Y(x,y) lar F vektorning OX va OY o’qlardagi proeksiyalari, x_i va y_i koordinatalarning M_i nuqtadan M_i+1 nuqtaga o’tishdagi ortirmalarini va bilan belgilab, quydagini hosil qilamiz:
i+ j.
Demak,
.
F kuchning butun MN egri chiziq bo’yicha bajargan A ishning taqribiy qiymati quydagicha bo’ladi:


Hozircha aniq ta’rifni bermasdan agar da tenglikning o’ng tamonidagi ifodaning limiti mavjud bo’lsa (bunda va ekanligi ravshan), bu limit F kuchning L egri chiziq bo’yicha M nuqtadan N nuqtagacha bajargan ishini ifodalaydi:


O’ng tamondagi limit X(x,y) va Y(x,y) funksiyalarning L egri chiziq bo’yicha olingan egri chiziqli integrali deb ataladi va quydagicha belgilanadi:

yoki

(2) ko’rinishidagi yig’indining limitlari ko’pincha matematika va mexanikada uchrab turadi, bunda X(x,y) va Y(x,y) ikkita o’zgaruvchining biror D sohadagi funksiyalari deb qaraladi.
Integrallash chegaralari o’ziga qo’yilganM va N harflari sonini emas, balki egri chiziqli integral olinishi kerak bo’lgan chiziqning boshlang’ich va oxirgi nuqtalarni bildirganligi uchun ular qavs ichiga olib yozilgan. L egri chiziq bo’yicha M nuqtadan N nuqtaga qarab olingan yo’nalish integrallash yo’nalishi deb ataladi.
Agar L fazoviy egri chiziq bo’lsa,u holda uchta X(x,y,z),Y(x,y,z) va Z(x,y,z) funksiyaning egri chiziqli integrali yuqoridagi singari aniqlanadi.



Integral belgisi ostida turgan L harfi integrallashni L egri chiziq bo’yicha bajarish kerakligini ko’rsatadi.
Egri chiziqli integralning ikkita xossasini ko’rib chiqamiz.

1.1.2-rasm