Gauss formulasi Peterson va Kodatsi formulalari

1-xossa. Egri chiziqli ostidagi ifoda integral egri chizig’ining shakliga va ko’rsatilgan integral yo’nalishi bilan aniqlanadi.
Integrallashning yo’nalishi o’zgarishi bilan egri chiziqli integralning ishorasi ham o’zgaradi, chunki bunda vektorning ishorasi demak, uning va proeksiyalarining ishoralari ham o’zgaradi.
2-xossa. L egri chiziqni K nuqta = bo’ladigan qilib, L₁ va L₂ bo’laklarga bo’lamiz(1.1.2-rasm). Bu holda (1) formuladan bevosita

tenglik lik kelib chiqadi.
Bu munosabat qoshiluvchilar soni har qancha bo’lganda ham o’rinlidir.
L egri chiziq yopiq bo’ganda ham egri chiziqli integralning tarifi o’z kuchini saqlashini ko’ramiz.
Bu holda egri chiziqning boshlang’ich va oxirgi nuqtalari ustma-ust tushadi. Shuning uchun biz egri chiziq yopiq bo’lganda
ko’rinishida yoza olamiz, bunda L yopiq egri chiziq bo’yicha yurish yo’nalishini ko’rsatish bilan

ko’rinishida yozishimiz mumkin. L yopiq kontur bo’yicha olingan egri chiziqli integralni belgilash uchun ko’pincha

simvoli ham ishlatiladi.
Izoh. Biz egri chiziqli Lyo’l bo’yicha F kuchnining bajaradigan ishi haqidagi masalani qarash bilan egri chiziqli integral tushunchasini hosil qildik.
Bu holda F kuch L egri chiziqning hamma nuqtalarda bu kuch qo’yilgan (x,y) nuqta kordinatalarining F vektor funksiyasi sifatda berilgan; F o’zgaruvchi vektorning koordinata o’qlardagi proeksiyalari X(x,y) va Y(x,y) skalyar(ya’ni sonli) funksiyalarga teng. Shuning uchun

Ko’rinishidagi egri chiziqli integralni X va Y proeksiyalari bilan berilgan F vektor funksiyaning integrali

simvol bilan belgilanadi. Agar F vektor o’zining X,Y,Z proeksiyalari bilan aniqlansa, u vaqtda bu integral quydagi egri chiziqli integralga teng bo’ladi:

Jumladan, F vektor OXY tekislikda yotgan bo’lsa, bu vektorning integrali:

F vektor funksiyaning egri chiziqli integrali Lyopiq egri chiziq bo’yicha olingan hollarda, bu egri chiziqli integral, F vektorning L yopiq kontur bo’yicha olingan sirkulyasiyasi deb ataladi.