Gauss usulida yechish

Un.urniy ko%-inishdagi tenglan.atar sisternasini

Gauss usulida yechish

Shuni ta' kidlash kerakki,. bu usullarni tenglamalar soni norna'lurnlar soniga teng bo'lgan holdagina qo'llash mumkin. Endi urnumiy holda qo'llaniladigan usul — Gauss usulini bayon qilamiz. Gauss usuli notna'lurnlarni ketrna—ket yo'qotish usuli deb harn norn lanad i -
Ch iziqli tenglarnaiar sisternasi ustida b@iariladigan elementar alrnashtirish deb quyidagilarga aytiladi: biron—bir tenglamani noldan farqli songa ko'paytirish, tenglamalar o'rnini almashtirish va biron—bir tenglamani songa ko'paytirib, boshqa bir tenglamaga qosshish. Mana shu almashtirishlar natijasida hosil bo'lgan yangi tenglarnalar sisternasi avvalgisiga ekvivalent, ya'ni yechirnlar to'plarni ikkala sisterna uchun bir xil bo'iadi.
( 1 rnatritsasi va ozod hadlar ustuni kengaytirilgan rmatritsa hosil q ilanaiz:

Yuqoridagi ta 'kidlangan alrnashtirishlar natijasida, bu rnatritsa quyidagi ko'rinishlardan biriga kelishi mumkin;
a )
bu holda yechirn yagona; b)
bu holda yechirn yagona;
bu holda sisterna che:ksiz ko'p yechirnga ega bo ladi.
sonlardan bironlasi noldan fârqIİ, bu holda ya 'ni sistern,a yechixnga ega ernas.

B u yerda, i. , - i. , lar 1, 2, . ning q andaydir o 'rin almashtirishlaridan iborat bo'ladi. Dernak, quyidagi teoren-ra o'rinLi.
Teorerna (Kroneker—Kape11i teorernasi)- Agar sisterna rnatritsasi rangi kengaytirilgan matritsa rangiga teng boflsa., ya'ni r(A) = u holda sistema birgalikda bo'ladi, ya'ni yechirnga ega
Dernak. biz quyidagi xulosalarni q ilishirniz rnurnkin ekan:
1 - Agar dA) rcÄ) bo'lsa, sisterna birgalikda ladi-
2. Agar rcÄ) bo'lsa, sisterna birgalikda Lrnaydi.
3- Agar n boSIsa. sisterna yagona yechirnga ega lad i.
4. Agar FCA) bo'lsa, sisterna Cheksiz ko'p yechirnga ega lad i.
— 20
5X1 — + — X. Masalan. Sister-nani Gauss usulida yechmng: _3x, + _ x.
Xi — .X2 + 4X3 — 2
Yechish: Siste•naning kengaytirilgan roatritsasini yozib olarniz: birinchi qad_arnda a. 1 *O bo'lishi zarur, lekin = 1 hisoblashlar uChun qulaydir. Shuning uchun birinchi va to'rtinchi satrlarning o•rnini alrnashtirarniz:
I —qadan•z. Birinchi satr elernentl,arini —5, 3 va —2 ga ko'paytirib, ularni rnos ravishda ikkinchi, uchinchi va to'rtinchi satrlarga qo' sharniz, chunki nmaqsad ax I elernent ostida nollardan iborat «zina» hosil bo'lsin-
2-qadam. en = —l bo'lgani quiayroq. Shuning uchun ikkinchi va uchinchi satrlar 0 ' rnini almashtiramiz:

3—qadam. Ikkinchi satr elementlarini 4 va 3 ga ko'paytirib mos ravishda uchinchi va to'rtinchi satr elementlariga qo' sharni.z,. natijada am elernent tagida ikkinchi ustunda «zina» hosil ladi.
4—qadam. Hosil bo'lgan matritsada 26 O, uchinchi satr
elernentini — ga kospaytirib, to'rtinchi satrga qo' sharriiz.
Natijada,
Kengaytirilgan rnatritsa zinapoya ko'rinishiga keltirildi Unga mos keluvchi sistemaning ko'rinishi quyidagicha:
oxi.rgi tengl%unadan ikkinchidan 26
= 1 1 + — 4X4 —7 va birinchidan — —4 + — 4X3 + 2X.
Masalan. Sistemani Gauss usuli bilan yeching:
+ X, + 3X3 —3_r. = 3
— 3X2 + — XS = —2
41, —7xa +5x, — ——1
XL —4-rz + X, + — 5s = —2
Yechish:

Sistema cheksiz ko'p yechimlarga ega.