General Non-Existence Theorem for Phase Transitions in One-Dimensional Systems with Short Range Interactions, and Physical Examples of Such Transitions

3.2. Chui–Weeks’s Model
We now proceed in order of increasing mathematical complexity and
consider a model in which the transfer matrix has infinite size. The specific
example we consider was proposed by Chui and Weeks
(24)
and is given by
the following Hamiltonian:
H
N
=J C
N
i=1
|h
i
− h
i+1
| − K C
N
i=1
d
h
i
, 0
.
(15)
878
Cuesta and Sánchez

---

This is a typical instance of the family of models called solid-on-solid (SOS)
for surface growth, in which h
i
stands for the height above site i of the
lattice; the reason for the name SOS is that overhangs are not allowed, i.e.,
the surface profile is single-valued. We will consider that heights can take
on only integer values and that there is an impenetrable substrate, imposing
h
i
\
0. In this context, the first term represents the contribution of surface
tension to the total energy, and the second one introduces an energy
binding the surface to the substrate. As we will comment below, this is
crucial for the model to exhibit a phase transition. Interestingly, these
systems have often been considered as two-dimensional ones because of the
fact that they represent interfacial phenomena on a plane, and therefore
they have been considered not relevant for the 1D phase transition issue.
We stress here that the fact that h
i
stands for a height does not change
the 1D nature of the model, as it could equally well represent any other
magnitude or internal degree of freedom, not associated to a physical
dimension.
Instead of following Chui and Weeks’s presentation, which is very
simple but does not lead to explicit results, we resort to an alternative
derivation proposed as Exercise 5.7 in Yeomans’s textbook.
(25)
We will not
go here into the details of the derivation and quote only its main steps.
A transfer matrix for the model is evidently
( T )
ij
—
e
−bJ |i − j|
[1+(e
−bK
− 1) d
i, 0
],
i, j=1, 2,... .
(16)
Note that the matrix dimension is actually infinite, as announced, and
stems from the fact that the amount of possible states ( heights) at any site
of the lattice is infinite. It is also important to realize that in this case none
of the entries in the matrix is zero, so we have a strictly positive matrix,
although out of the scope of the theorems discussed above because of its
infinite dimension.
For simplicity, we introduce the notation
w — e
−bJ
,
o — e
−bK
. Then, by
considering eigenvectors of the form
v
q
—
(k
0
, cos(q+h), cos(2q+h),...),
(17)
it is a matter of algebra to show that there is a continuous spectrum of
eigenvalues,
s( T )=
5
1 − w
1+w
,
1+w
1 − w
6
.
(18)