General Non-Existence Theorem for Phase Transitions in One-Dimensional Systems with Short Range Interactions, and Physical Examples of Such Transitions

Phase Transitions in Short-Ranged 1D Systems
881

---

The problem with the Dauxois–Peyrard model is that it is not possible
to solve exactly for the eigenvalues of the transfer operator. However, in
ref. 27 the combined use of analytical approximations and numerical com-
putation of the eigenvalues allowed the authors to provide compelling evi-
dence for a phase transition in the anharmonic case [
a ] 0 in the Hamil-
tonian (23)]. Indeed, their numerical results show, much as in the Chui–
Weeks’s model, a single eigenvalue in the discrete spectrum that merges the
band of the continuous spectrum at a finite temperature. The result agrees
very well with numerical simulations of the model, showing that above the
critical temperature the double strand denaturates (i.e., the two strands
separate to a macroscopically large distance or, equivalently, the mean
value of y
n
diverges), whereas below the critical temperature the two strands
remain bound. Most interestingly, the predictions of the model compare
very well with experiments on short chains.
(30)
The authors claim
(28)
that
van Hove’s theorem does not apply here, among other reasons, because
of the presence of the external field term given by the Morse potential.
Actually, we want to go beyond their claim and stress that van Hove’s
theorem has nothing to do with this model, because it does not fulfill other
hypotheses as well (although, admittedly, the most noticeable violation is
the external potential, which breaks the required translation invariance).
Therefore, this phase transition should not be discussed in the framework
of van Hove’s theorem: As we will see in the next section, the transfer
operator is likely to be excluded of the more general theorem we will
present, thus making it possible the existence of this phase transition.