General Non-Existence Theorem for Phase Transitions in One-Dimensional Systems with Short Range Interactions, and Physical Examples of Such Transitions

4. A GENERAL THEOREM ON THE NON-EXISTENCE OF PHASE
TRANSITIONS
Once established the existence of phase transitions in one-dimensional
systems with finite-range interaction, we will consider the formulation of an
impossibility theorem sufficiently general as to include all known particular
cases of proven nonexistence of phase transitions (namely, the theorems of
van Hove,
(8)
Ruelle,
(9, 14)
and Perron–Frobenius,
(11, 12)
at least).
Our guideline to look for such a generalization will be the Perron–
Frobenius theorem for nonnegative matrices. This theorem applies to
homogenous lattice models in which the state variables defined on each
node take on values from a finite set (like, e.g., Ising or Potts variables) and
interact only with a finite set of neighbors. The partition function of those
models can be defined in terms of the eigenvalues of a finite nonnegative
(its elements are Boltzmann’s factors) transfer matrix, the kind of object
to which Perron–Frobenius theorem applies. But general one-dimensional
models may differ from those lattice models in at least one of two ways:
882
Cuesta and Sánchez

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they can be continuum models, and state variables can take values on an
infinite (either discrete or continuum) set. In these cases the partition func-
tion can be expressed in terms of a transfer operator on a certain infinite-
dimensional linear space. Integral operators or infinite matrices are two
particular instances of such operators, but they are not the only ones.
The problem to generalize Perron–Frobenius theorem to operators
more general than finite matrices is to extend the notions of nonnegative-
ness and irreducibility. This amounts to equip functional spaces with an
order which allows comparing functions (at least in certain cases). The
theory resulting from introducing order in Banach spaces and its conse-
quences for the spectral theory of linear operators defined on them has
been a topic of active research for mathematicians for quite some time,
(31, 32)
and it is at the heart of this realm where the desired extension is found.