Геометрическая оптика и ее основные законы. Геометрическая оптика

Способы получения когерентных пучков в оптике делением амплитуды. Интерференция от плоско–параллельной пластинки. Полосы равного наклона.

Пусть на плоскопараллельную пластину толщиной h и с показателем преломления n падает рассеянный монохромати- ческий свет с длиной волны λ. Из условия Δ = 2nh cosβ следу- ет, что при n,h = const разность хода зависит только от угла па- дения лучей β. Очевидно, что лучи, падающие под одним уг- лом, будут иметь одну и ту же разность хода. Если параллельно пластине разместить линзу L, в фокальной плоскости которой расположен экран Э, то эти лучи соберутся в одной точке экрана (рис.2.10). В рассеянном свете имеются лучи самых разных направлений. Лучи, падаю- щие на пластину под углом α 1 , соберутся на экране в точке Р 1 , интенсивность света в которой определяется разностью хода Δ. Путем не- сложных расчетов можно получить, что Δ= − 2 22 hn s i nα 1 . Лучи, падающие на пластину под углом α 1 , но в другой плоскости, будут иметь та- кую же разность хода и соберутся в другой точке, но на таком же расстоянии от центра экрана. Таким образом, лучи, падающие на пластину во всевозможных плоскостях, но под углом α 1 , создают на экране совокупность одинаково освещенных точек, расположенных на окружности с центром в точке О. Аналогично, лучи, падающие под другим углом α 2 , создадут на экране совокупность Э Р 2 Р 1 0 L α 2 α 1 h Рис.2.10. Рис.2.10 28 одинаково освещенных точек, но расположенных на окружности другого радиуса. Следовательно, на экране будет наблюдаться система концентрических окружностей, называемых линиями равного наклона. Поскольку интерферирующие лучи идут к эк- рану параллельным пучком, то говорят, что линии равного на- клона локализованы в бесконечности. Для наблюдения их пользуются линзой (роль линзы может играть хрусталик глаза).

18. 
    Интерференция от пластинки переменной толщины. Кривые равной толщины. Локализация полос интерференции.
    

19. 
    Кольца Ньютона. Вычисление разности хода лучей и радиусов колец.
    

П рихотливый вид интерференционных картин в тонких пленках объясняется, как сказано, случайными неравномерностями в толщине пленки. В пленке, имеющей вид клина, области одинаковой толщины вытянуты вдоль ребра клина и в соответствии с этим так же расположены темные и светлые (цветные) полосы интерференции.
Очень важным видоизменением опыта с клинообразной пленкой является опыт, произведенный еще в 1675 г. Английский физик и математик Исаак Ньютон (1643—1727) наблюдал цвета тонкой

Рис. 267 прослойки воздуха, заключенной между плоским стеклом и выпуклой поверхностью объектива астрономического рефрактора. Радиус кривизны выпуклой поверхности объектива в опыте Ньютона был около 10 м, поэтому толщина прослойки воздуха между плотно сжатыми стеклами очень медленно и правильно возрастала от места соприкосновения стекол (где она равна нулю) к наружным частям объектива.

Если смотреть на такую систему, то темное место соприкосновения обоих стекол оказывается окруженным светлой кольцевой полосой, которая постепенно переходит в темную, вновь сменяется светлой и т. д. По мере увеличения диаметра кольца толщина воздушной прослойки возрастает неравномерно, воздушный клин становится все круче и соответственно ширина кольцевых полос, т. е. расстояние между двумя соседними минимумами, становится меньше. Такова картина, наблюдаемая в монохроматическом свете; в белом свете наблюдается система цветных колец, постепенно переходящих друг в друга. По мере удаления от центрального темного пятна цветные полосы становятся все уже и белесоватое благодаря перекрытию цветов, пока, наконец, не исчезают всякие следы интерференционной картины.
На основании изложенного выше нетрудно понять, почему интерференционная картина имеет в данном случае вид системы концентрических колец. Места равной толщины в воздушной прослойке, которые соответствуют местам с одинаковой разностью хода световых волн, имеют форму окружностей. По этим окружностям и располагаются места равной интенсивности в интерференционной картине.
Удобное расположение приборов, позволяющее наблюдать и промерять кольца Ньютона, изображено на рис. 267. На столике микроскопа с небольшим увеличением расположено плоское стекло, сложенное с линзой малой кривизны. Наблюдение ведется через микроскоп по направлению, перпендикулярному к плоскости стекла. Для того чтобы освещающий свет также падал перпендикулярно к плоскости стекла, заставляют свет источника отражаться от стеклянной пластинки, поставленной под углом 45° к оси микроскопа. Таким образом, интерференционная картина рассматривается сквозь эту стеклянную пластинку. Практически пластинка не мешает наблюдению колец, ибо сквозь нее проходит вполне достаточно света. Для усиления освещения можно применять конденсор. Источником света служит горелка, пламя которой окрашено парами натрия (монохроматический свет), или лампочка накаливания, которую можно прикрывать цветными светофильтрами.
Для того чтобы использовать интерференционные явления, в частности кольца Ньютона для измерения длины волны, надо подробнее рассмотреть условия образования максимумов и минимумов света.
При падении света на пленку или тонкую пластинку часть света проходит сквозь нее, а часть отражается. Предположим, что монохроматический свет длины волны l падает на пластинку перпендикулярно к ее поверхности. Будем рассматривать малый участок пластинки, считая его плоскопараллельным. На рис. 268 изображен ход лучей в пластинке, причем для наглядности лучи изображены не вполне перпендикулярными к ней. В отраженном свете имеем луч 1, отраженный от верхней поверхности пластинки и луч 2, отраженный от нижней поверхности. В проходящем — луч 1', прямо прошедший через пластинку и луч 2', отразившийся по одному разу от нижней и от верхней поверхностей. Рассмотрим сначала проходящие лучи. Лучи 1' и 2' обладают разностью хода, так как первый прошел через нашу пленку один раз, а второй — три раза. Образовавшаяся разность хода при нормальном падении света есть AB+BC+CD—АВ=ВС+CD=2h, где h — толщина пластинки. Если эта разность хода равна целому числу волн, т. е. четному числу полуволн, то лучи усиливают друг друга; если же разность хода равна нечетному числу полуволн, то лучи взаимно ослабляются. Итак, максимумы и минимумы получаются в тех местах пластинки, толщина которых h удовлетворяет условию 2h=nλ/2, причем минимумы соответствуют нечетному значению n=1, 3, 5, ..., максимумы соответствуют четному значению n=2, 4, ... Таковы выводы для проходящего света.
Р ис. 268. Ход отраженных и проходящих лучей при двукратном отражении в пленке
В отраженном свете разность хода между лучами 1 и 2 при нормальном падении света есть AB+BC=2h, т. е. такая же, как и для проходящего света. Можно было бы думать, что и в отраженном свете максимумы и минимумы будут на тех же местах пластинки, что и в проходящем свете. Однако это означало бы, что места пластинки, которые меньше всего отражают света, меньше всего и пропускают его. В частности, если бы вся пластинка имела одну и ту же толщину и притом такую, что 2h равно нечетному числу полуволн, то такая пластинка давала бы и минимальное отражение, и минимальное пропускание. Но так как мы предполагаем, что пластинка не поглощает света, то одновременное ослабление и отраженного, и пропущенного света невозможно. Само собой разумеется, что в непоглощающей пластинке свет отраженный должен дополнять свет прошедший, так что темные места в проходящем свете соответствуют светлым в отраженном и наоборот. И действительно, опыт подтверждает это заключение.
В чем же ошибочность нашего расчета интерференции отраженных световых волн? Дело в том, что мы не учли различия в условиях отражения. Некоторые из отражений имеют место на границах воздух — стекло, а другие на границах стекло — воздух (если речь идет о тонкой стеклянной пластинке в воздухе). Это различие приводит к возникновению дополнительной разности фаз, которая соответствует дополнительной разности хода, равной λ/2. Поэтому полная разность хода для лучей, отраженных от верхней и нижней поверхностей пластинки толщиной h, равняется 2h+λ/2. Места минимумов соответствуют условию 2h+2λ/2 = mλ/2.
где m — нечетное число; места максимумов — четным значениям m. Следовательно, максимумы и минимумы получаются в тех местах пластанки, толщина которых h удовлетворяет условию 2h = (m-1)λ/2 = nλ/2, причем (m-1) обозначено через n. Минимумы соответствуют четным значениям n=0, 2, 4, ..., максимумы соответствуют нечетным значениям n=1, 3, 5, ...
Сопоставим результаты, полученные для определения положения максимумов и минимумов в проходящем и отраженном свете. Положения максимумов и минимумов соответствуют толщине пленки, определяемой из условия: 2h=nλ/2.
Таким образом, области максимумов в проходящем свете соответствуют областям минимумов в отраженном и, наоборот.
Применительно к кольцам Ньютона, которые обычно наблюдаются в отраженном свете (§ 126), получаем, что места максимумов соответствуют нечетным значениям n=1, 3, 5, ..., а места минимумов — четным n=0, 2, 4, ... Центральный (нулевой n=0) минимум имеет вид темного кружка, следующее первое темное кольцо соответствует
n=2, второе n=4 и т. д. Вообще номер N темного кольца связан с числом я соотношением N=n/2. Номер N светлого кольца выражается через n формулой N=(n+1)/2.
Вместо определения толщины h того места воздушной прослойки, которое соответствует кольцу номера N, удобнее измерять диаметр или радиус соответствующего кольца. Из рис. 269 следует: R2=(R—h)2+r² и, следовательно, толщина прослойки h связана с радиусом кольца r и радиусом линзы R соотношением (2R-h)h=r²
Для опытов с кольцами Ньютона пользуются линзами о очень большим радиусом R (несколько метров). Поэтому можно пренебречь величиной ft по сравнению с 2R и упростить последнее соотношение, записав: 2Rh=r² или 2h=r²/R.
И так, для определения длины волны l с помощью колец Ньютона имеем 2h=r²/R
Если измеряются радиусы темных колец, то номер кольца N=n/2. В таком случае длина волны выразится формулой
λ = r²_N /NR, где r_N есть радиус N-го темного кольца.

Рис. 269. К расчету радиусов колец Ньютона

Проводя измерения радиусов светлых колец, мы должны иметь в виду, что N={n+1)/2. В соответствии с этим получаем соотношение λ = 2 r²_N /(2N-1)R, где r_N есть радиус N-ro светлого кольца.

20.