Geometrik progres

CHeksiz kamayuvchi geometrik progressiya .
Ta’rif. Hadlarining soni chegaralanmagan va maxraji -1 < q > 1 bo’lgan geometrik

progressiya cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya deyiladi.

3 3
Masalan, 6, 3, ₂ ,₄,...


1
(maxraj 𝑞 = ₂ < 1 va hadlarining soni chegaralanmagani uchun u cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyadir).

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlari yig’indisining

formulasini chiqarish . Ushbu

b₁, b₁q, b₁q²,b₁q³,..., b₁q^m−1, b₁q^m,...

cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya berilgan bo’lsin (-1

b₁ + b₁q + 𝑏₁𝑞² + ⋯+ 𝑏₁𝑞^𝑚−1 + ⋯ = 𝑆 va

b₁ + b₁q + 𝑏₁𝑞² + ⋯+ 𝑏₁𝑞^𝑚−1 = 𝑆_𝑚 deb belgilaymiz.

U holda S_m = ^b1 _1−q m = _1−q − _1−q ∙ q^m ni yozish mumkin.

m cheksiz ortadi deb faraz qilamiz. U holda _1−q son o’zgarmaydi, lekin q<1

bo’lgani uchun m cheksiz ortganda: |q^m| → 0.

Shuning uchun m → ∞ da S_m → _1−q . Bu _1−q cheksiz kamayuvchi geometrik

progressiya hadlarining yig’indisi deb ataladi va u

1
S=_1−q (5)
Shaklida yoziladi. Bu formula cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya
hadlarining yig’indisini topish formulasi deyiladi.


3 3
Misol. 6, 3, ₂, ₄ , ... ning hadlar yig’indisi topilsin.

Yechim. b₁ = 6 , q = ₂ , S=_1−q = ₁⁶2 = ⁶ = 12.