Geometriya va topologiya kafedrasi differensial geometriya va topologiya fanidan

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI 

OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI 

MIRZO ULUG’BEK NOMIDAGI 

O’ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI 

 

GEOMETRIYA VA TOPOLOGIYA  KAFEDRASI 

DIFFERENSIAL GEOMETRIYA VA TOPOLOGIYA FANIDAN 

 

MAVZU: 

 

Xausdorf, regulyar, tixonov va normal fazolar.

 

 

      Topshirdi: Bayramov Paraxat 18-03 guruh talabasi 

     Tekshirdi: Diyarov Begzod  

                                                        

 

 

 

TOSHKENT– 2020 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kirish………………………………………………………………….......'>Xausdorf, Regulyar,  Tixonov va Normal fazolar. 

 

Mundarija: 

1.Kirish…………………………………………………………………....... 

1§.Topologik fazo tushunchasi 

1.1.Metrik fazo…………………………………..……………………………. 

1.2. Topologiya bazasi……………………...………………………….......... 

1.3.Xausdorf fazosi……………………………….………………………… 

1.4.Regulyar fazo………………………………………………………….. 

1.5.Tixonov fazosi……………………………………………………… 

1.6.Normal fazo………………………………………………………… 

2§. Misollar……………………………………………………………… 

Xulosa……………………………………………………………………. 

Foydalanilgan abiyotlar………………………………………………... 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kirish

 

Topologiya tushunchasi XIX asrning N.I.Lobachevskiy, B.Riman, 

A.Puankare, D.Gilbert kabi buyuk matematiklari ishlarida paydo bolgan. 

Shakllarning geometrik xossalari ularning metrik xossalari (o’lchamlari, 

burchaklari, va hokazo) bilan to’liq aniqlanmaydi. Topologik usullar 

yordamida shakllarning geometrik xossalari yorqin namoyon bo’ladi. 

Metrik fazolarda asosiy tushunchalar atrof hamda ochiq to’plam 

tushunchalari yordamida kiriladi hamda atrof va ochiq to’plam tushunchalari 

masofa orqali aniqlanadi. Endi ochiq to’plam tushunchasi topologiya 

aksiomalari orqali aniqlanib, nuqtaning atrofi sifatida shu nuqtani o’z ichiga 

olgan ochiq to’plam tushuniladi. 

Topologik fazo ta’rifi umumiy tushunchalardan biri bo’lib, barcha 

topologik fazolarda o’rinli bo’ladigan qiziqarli teoremalarni isbotlash qiyin. 

Kurs ishimda esa nuqtalarni, nuqta va to’plamni hamda to’plamlarni bir-

biridan ajratish haqidagi aksiomlar va ular yordamida keltirib chiqarish 

mumkin bo’lgan xossalar, ya’ni Topologik fazo bazasi, Xousdorf fazosi, 

Tixonov fazosi, Regulyar fazo va Normal fazo haqida o’rganamiz. 

 

 

 

 

 

 

Albatta Hausdorf fazolarini bilishdan oldin topologik fazo haqida ozroq 

tushunib olishimiz kerak. 

1§.Topologik fazo tushunchasi 

1.1.Metrik  fazo.  Haqiqiy  sonlar  orasidagi  masofa  tushunchasini 

umumlashtirilish  natijasida,  zamonaviy  matematikaning  eng  muhim 

tushunchalaridan biri bo‘lgan metrik fazo tushunchasi fransuz matematigi 

M. Freshe tomonidan 1906 yilda kiritilgan.  

Ta’rif.  X  to‘plamning  har  bir  x  va  y  elementlari  juftligiga  nomanfiy 

ρ(x,y)  haqiqiy  soni  mos  qo‘yilgan  bo‘lib,  quyidagi  shartlarni 

qanoatlantirsa, u holda ρ funksiyaga metrika deyiladi:  

1. ρ(x,y) = 0⇔x = y (ayniylik aksiomasi);  

2. ρ(x,y) = ρ(y,x) (simmetriklik aksiomasi);  

3. ρ(x,y)≤ρ(x,z) + ρ(z,y) (uchburchak aksiomasi). 

 (X, ρ)- juftligiga metrik fazo deyiladi.  

1.  Haqiqiy  sonlar  o‘qida  x  va  y  sonlar  orasidagi  masofani 

ρ(x,y) = |x−y| ko‘rinishda aniqlasak, u holda ρ metrika bo‘ladi.  

2.  n  sondagi  haqiqiy  sonlarning 

1

2

( ,

,...,

)

n

x

x x

x



 

tartiblangan 

guruhlari 

to‘plamida 

metrikani 

2

1

( , )

(

)

n

k

k

k

x y

x

y











  kabi  kiritish  mumkin.  Bu  to‘plam  n-

o‘lchovli arifmetik Evklid fazosi deyiladi va 

n

 orqali belgilanadi. 

 3. 

2

- fazosi. Elementlari haqiqiy sonlarning 

{ }

n

x

x



  ketma-ketliklaridan 

iborat  bo‘lib,  bu  ketma-ketliklarning  hadlari 

2

1

n

n

x





 



  shartini 

qanoatlantiruvchi to‘plamda

  

metrikani

 

 

2

1

( , )

(

)

n

n

n

k

x y

x

y











 ko‘rinishda kiritish mumkin. Bu metrik fazo   

2

 

orqali belgilanadi. 

 

4.  [a,b]  segmentda  aniqlangan  barcha  haqiqiy  uzluksiz 

funksiyalar to‘plamida metrikani 

( , )

( )

( )

max

a t b

f g

g t

f t



 





 

ko‘rinishda  kiritish  mumkin.  Bu  metrik  fazo  C[a,b]  orqali 

belgilanadi. 

5.  m  fazosi.  Hadlari  chegaralangan  haqiqiy  sonlarning  cheksiz 

{ }

n

x

x



 

ketma-ketliklari 

to‘plamida 

masofani 

( , )

sup

n

x y

n

n

x

y







  ko‘rinishda  kiritsak,  u  holda  bu  to‘plam 

metrik  fazo  bo‘ladi.  Bu  metrik  fazo  m  orqali  belgilanadi.  (X,  ρ) 

metrik  fazoda  biror 

{ }

n

x

  ketma-ketlik  berilgan  bo‘lsin.  Agar 

ixtiyoriy ε > 0 soni uchun shunday n(ε) nomer topilib, n > n(ε) 

tengsizligini  qanoatlantiruvchi  barcha  n  lar  uchun 

(

, )

n

x x







 

tengsizligi  o‘rinli  bo‘lsa,  u  holda 

{ }

n

x

    ketma-ketligi  x∈X 

elementiga  yaqinlashuvchi  deyiladi  va 

lim

n

n

x

x





kabi 

belgilanadi. x nuqta 

{ }

n

x

  ketma-ketligining limiti deb ataladi.  

Agar 

{ }

n

x

    ketma-ketlik  limit  nuqtaga  ega  bo‘lsa,  u  holda  u 

yagona bo‘ladi. Haqiqatan, agar 

         

lim

n

n

x

x





                      va                       

lim

n

n

x

x







                                                  

bo‘lsa, u holda  

( , )

( ,

)

(

, )

n

n

x x

x x

x x















  

Bu  tengsizlikning  o‘ng  tomoni  n  →  ∞  da  nolga  intiladi.  

Bundan 

( , )

0,

x x



 

     ya’ni     

x

x





.  

Ta’rif.  X  metrik  fazoda 

{ }

n

x

    ketma-ketligi  berilgan  bo‘lsin. 

Agar  ∀ε  >  0  son  uchun  n(ε)  nomer  topilib,  n,  m  >  n(ε) 

tengsizliklarini  qanoatlantiruvchi  barcha  n,  m  natural  sonlari 

uchun  

(

,

)

n

m

x x







 

tengsizligi o‘rinli bo‘lsa, u holda 

{ }

n

x

  ketma-ketlik fundamental 

deb ataladi.  

            Ta’rif. Agar metrik fazoning ixtiyoriy fundamental ketma-

ketligi shu fazoga tegishli limitga ega bo‘lsa, u holda u to‘la metrik 

fazo  deb  ataladi.  Yuqorida  keltirilgan  haqiqiy  sonlar  to‘plami, 

Evklid fazosi to‘la metrik fazoga misol bo‘ladi. Ratsional sonlar 

to‘plami esa, to‘la emas metrik fazoga misol bo‘ladi. Haqiqatan,  

1

1

n

n

x

n





 









  bo‘lganda, 

{ }

n

x

    ketma-ketlik  fundamental,  ammo 

uning limiti irratsional e soniga teng.        

            

1

( ,

)

X



 va 

2

( ,

)

Y



 metrik fazolar bo‘lsin. X va Y fazolar orasida 

o‘zaro  bir  qiymatli  f  :  X →  Y  moslik o‘rnatilgan  bo‘lib,  ixtiyoriy    

1

2

,

x x

  ∈  X  elementlari  uchun 

1

1

2

2

1

2

( ,

)

( ( ), (

))

x x

f x

f x







tengligi o‘rinli bo‘lsa, u holda bu metrik fazolar o‘zaro izometrik 

deb ataladi.  

1

( ,

)

X



 va 

2

( ,

)

Y



  metrik fazolar berilganda, X va Y fazolar orasida 

yaqinlashuvchilikni  saqlaydigan  o‘zaro  bir  qiymatli  f  :  X  →  Y 

moslik 

o‘rnatilgan 

bo‘lsa 

(ya’ni 

1

( , )

0

n

x a





 

dan 

2

( (

), ( ))

0

n

f x

f a





  kelib  chiqsa  va  aksincha),  u  holda  bu  metrik 

fazolar o‘zaro gomeomorf deyiladi.  

            X  fazoda 

1



  va 

2



  metrikalar  berilgan  bo‘lsin.  Agar  X 

fazoda  ketmaketlikning 

1



  metrika  bo‘yicha  yaqinlashishidan 

2



  metrika  bo‘yicha  yaqinlashishi  va  aksincha 

2



  metrika 

bo‘yicha  yaqinlashishidan 

1



  metrika  bo‘yicha  yaqinlashishi 

kelib chiqsa, u holda bu metrikalar o‘zaro ekvivalent deb ataladi.  

         X  metrik  fazoda  markazi  a  nuqtada,  radiusi  r  >  0  bo‘lgan 

B(a,r) ochiq shar deb, ρ(a,x) < r shartni qanoatlantiruvchi barcha 

x  ∈  X  elementlar  to‘plamiga  aytiladi.  B[a,r]  yopiq  shar ρ(a,x)≤r 

tengsizligi yordamida aniqlanadi. a nuqtaning ε-atrofi deb B(a,ε) 

ochiq sharga aytamiz.  

         X  metrik  fazoning  biror  E  qism  to‘plami  berilgan  bo‘lsin. 

Agar  

0

x

∈X nuqtaning ixtiyoriy atrofida E to‘plamning kamida bir 

elementi mavjud bo‘lsa, u holda 

0

x

 nuqta E to‘plamning urinish 

nuqtasi  deb  ataladi.  E  to‘plamning  barcha  urinish  nuqtalari 

to‘plami  E  ning  yopilmasi  deb  ataladi  va  [E]  ko‘rinishda 

belgilanadi. 

         Metrik  fazolarda  metrika  yordamida  ochiq  shar,  atrof 

tushunchalariga  ta’riflar  berilib,  ular  yordamida  ochiq  to‘plam 

aniqlanadi. Boshqa fundamental tushunchalar asosida ham ochiq 

to‘plam tushunchasi yotadi. Ochiq to‘plamni metrika yordamida 

emas,  aksiomalar  orqali  aniqlash  g‘oyasi  natijasida  topologik 

fazolar nazariyasi paydo bo‘lgan.  

Ta’rif. 

Aytaylik, 

X

  to‘plamning  qism  to‘plamlaridan  iborat 



 

sistema quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: 

 1) 

,

;

X





 



 

 2) 



 sistemasiga tegishli  

,

G

I







,   (

I

 indekslar to‘plami) 

to‘plamlarning birlashmasi 

G





 va chekli sondagi 

1

n

k

k

G



 kesishmasi 

yana  τ  sistemasiga  tegishli.  U  holda 



  sistemasi  X  to‘plamda 

berilgan topologiya deyiladi. (X,τ) juftlikga topologik fazo deyiladi. 



 

sistemaning 

elementlarini 

ochiq 

to‘plamlar 

deb, 

ochiq 

to‘plamlarning  to‘ldiruvchilarini  yopiq  to‘plamlar  deb  ataymiz. 

Topologik fazoning elementlari uning nuqtalari deb ham ataladi. 

Topologik  fazolardagi  boshlang‘ich  fundamental  tushunchalar 

ro‘yxatini keltiramiz:  

– x∈X 

nuqtaning atrofi 

— shu nuqtani o‘z ichiga oluvchi ixtiyoriy 

ochiq to‘plam;  

– X ⊃ M 

to‘plamning urinish nuqtasi 

— ixtiyoriy atrofida M to‘plamning 

kamida bitta elementi mavjud bo‘lgan nuqta; 

–  X  ⊃  M 

to‘plamning  yopilmasi 

[M]  —  M  ning  barcha  urinish 

nuqtalari to‘plami;  

– X ⊃ M 

to‘plamning limit nuqtasi 

— ixtiyoriy atrofida o‘zidan 

boshqa M to‘plamning kamida bitta nuqtasi mavjud bo‘lgan nuqta; 

 – X ⊃ M 

to‘plamning hosila to‘plami 

M



 — M ning barcha limit 

nuqtalari to‘plami;  

– M 

to‘plamning ichi 

int(M) — M to‘plamdagi barcha ochiq qism 

to‘plamlar birlashmasi; 

– X 

fazoning hamma yerida zich to‘plam 

— yopilmasi X fazoga 

teng bo‘lgan to‘plam;  

– Separabel fazo 

— hamma yerida zich sanoqli qism to‘plamga 

ega fazo.  

    Berilgan  X  to‘plamning  qism  to‘plamlaridan  iborat  turli 

sistemalar topologiya shartlarini qanoatlantirishi, ya’ni X to‘plamda 

turli topologiyalar kiritilishi mumkin. Bunda turli topologik fazolar 

hosil  bo‘ladi.  X  to‘plamda 

1

2

,

 

topologiyalar  berilgan  bo‘lib, 

1

2







 

munosabat  o‘rinli  bo‘lsa,  u  holda 

2



  topologiya 

1



  topologiyaga 

nisbatan kuchliroq topologiya deyiladi va 

1

2

 



ko‘rinishda yoziladi. 

Bu  holda 

1



  topologiya’ni 

2



  topologiyaga  nisbatan  kuchsizroq 

(sustroq) ham deyiladi.  

1.1.Topologiya bazasi 

. X topologik fazoda ochiq to‘plamlardan iborat  

B sistema berilgan bo‘lsin. Agar X fazodagi har bir ochiq to‘plamni B   

sistemaga tegishli to‘plamlarning birlashmasi ko‘rinishda ifodalash 

 mumkin bo‘lsa, u holda B sistemani X fazodagi topologiyaning bazasi deb 

 ataladi. Sanoqli bazaga ega bo‘lgan topologik fazoga sanoqli bazaga ega  

fazo yoki sanoqlilikning ikkinchi aksiomasini qanoatlantiruvchi fazo 

 deyiladi.  

     x ∈ X nuqtaning biror atroflaridan iborat sistemasini 

x

B

 orqali 

belgilaylik. Agar x nuqtani o‘z ichiga oluvchi ixtiyoriy U ochiq to‘plam 

uchun,  shunday  V  ∈  B  to‘plam  topilib,  V  ⊂  U  bo‘lsa,  u  holda   

x

B

   

sistema x nuqta atroflarining aniqlovchi sistemasi deb ataladi. Agar 

sanoqli 

x

B

 sistema mavjud bo‘lsa, u holda x nuqtada 

sanoqlilikning 

birinchi  aksiomasi 

bajarilgan  deyiladi.  Agar  X  fazoning  har  bir 

nuqtasida  sanoqlilikning  birinchi  aksiomasi  bajarilsa,  u  holda  X  ni 

sanoqlilikning birinchi aksiomasiga ega fazo 

deb ataymiz. 

    {

}

M



 to‘plamlar sistemasi va A to‘plam uchun 

A

M







 bo‘lsa,  

u  holda 

{

}

M



  sistema  A 

to‘plamning  qoplamasi 

deb  ataladi.  Agar 

{

}

M



 qoplamaning biror 

{

}

i

M



 qismi ham A uchun qoplama bo‘lsa, 

u  holda 

{

}

i

M



  sistema 

{

}

M



 

qoplamaning  qism  qoplamasi 

deyiladi. 

Agar 

{

}

M



 qoplamaga tegishli har bir to‘plam ochiq (yopiq) bo‘lsa, u 

holda 

{

}

M



   sistemani 

ochiq (yopiq) qoplama 

deb ataymiz.  

X     topologik fazoda 

{ }

n

x

  ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Agar x  

nuqtaning  ixtiyoriy  U  atrofi  uchun,  shunday 

0

n

  soni  topilib, 

0

n

n



 

tengsizlikni  qanoatlantiruvchi  barcha  n  natural    sonlar  uchun 

n

x

  ∈  U 

o‘rinli bo‘lsa, u holda x nuqta {

n

x

 } ketma-ketlikning limiti deyiladi.  

X va Y topologik fazolar, f : X → Y akslantirish bo‘lib, x ∈ X nuqta 

berilgan akslantirishning aniqlanish sohasiga tegishli bo‘lsin.  Agar        

y = f(x) nuqtaning ixtiyoriy  

y

U

 atrofi uchun, x nuqtaning shunday       

x

V

  atrofi  mavjud  bo‘lib, 

x

y

f(V )

U



  bo‘lsa,  u  holda  f  akslantirish  x 

nuqtada uzluksiz 

deb ataladi. X fazoning barcha nuqtasida uzluksiz 

bo‘lgan akslantirishga X fazoda 

uzluksiz akslantirish 

deyiladi.  

Topologik fazolar haqida tushunchaga ega bo’ldik. Uning 

 bazasi, topologik fazodagi to’plam undagi nuqtalar va uning urinish  

 nuqtalari, uzluksiz akslantirishlar haqida ma’lumotlar berib  

o’tdik. Endi esa kurs ishimizni asosiy  mavzulari  bo’lgan  

Xausdorf  fazosi  Tixonov  fazosi,  Regulyar  fazo  va  Normal fazo  

haqida  ma’lumot taqdim etamiz. 

1.2,…,1.5. Xausdorf fazosi, Tixonov fazosi, Regulyar fazo va 

Normal fazo 

Quyida ajratish aksiomalari deb ataluvchi shartlarni keltiramiz.  

0

T

– aksiomasi

: X topologik fazoning ixtiyoriy ikkita har xil x va y 

nuqtalari uchun bu nuqtalarning kamida bittasining ikkinchisini o‘z 

ichiga olmaydigan atrofi mavjud.  

0

T

 –aksiomasini qanoatlantiruvchi topologik fazo 

Kolmogorov

 

fazosi

 deyiladi.  

            

1

T

– 

aksiomasi  (ajratishning  birinchi  aksiomasi): 

X  topologik 

fazoning ixtiyoriy ikkita har xil x va y nuqtalari uchun, x ning y nuqtani o‘z 

ichiga olmaydigan 

x

O

atrofi, y ning x nuqtani o‘z ichiga olmaydigan 

y

O

 

atrofi mavjud. 

2

T

 – 

aksiomasi (ajratishning ikkinchi yoki xausdorf aksiomasi): 

X 

topologik  fazoning  ixtiyoriy  ikkita  har  xil  x  va  y  nuqtalari  o‘zaro 

kesishmaydigan 

x

O

 va 

y

O

atroflarga ega. Topologik fazoda berilgan 

to‘plamning  atrofi  deb,  shu  to‘plamni  o‘z  ichiga  oluvchi  ixtiyoriy 

ochiq to‘plamga aytiladi.  

2

T

  –aksiomasini  qanoatlantiruvchi  topologik  fazo 

Xausdorf 

fazosi

 deyiladi.  

Xausdorf  aksiomasi. 

(

, )

X



    topologik  fazo, 

x

y



 

,

x y

X



  va 

x

y



   bo’lsa, 

x

 va 

y

 nuqtalarning o’zaro kesishmaydigan atroflari 

mavjud. 

        Xausdorf  aksiomasi  bajarilgan  topologic  fazolar   

Xausdorf

 

fazolari

  deyiladi.  Biz  bu  haqida  alohida  ta’kidlamasdan  kurs 

davomida  hamma  topologik  fazolar  uchun  Xausdorf  aksiomasi 

bajarilgan  deb  faraz  qilamiz.  Yuqorida  ta’kidlaganimizdek,  metrik 

fazolarda bu aksioma har doim bajarilgan.  

         

Teorema.  

Xausdorf fazosida har qanday yaqinlashuvchi ketma 

ketlik yagona limitga egadir.  

          

Isbot. 

{ }

n

x

-  yaqinlashuvchi  ketma-ketlik  va   

lim

n

x

x



  bo’lsin. 

Agar  

n

x

y



 va  

y

x



 bo’lsa, 

1

U

 va 

2

U

 bilan mos ravishda  

x

 va 

y

nuqtalarning  o’zaro  kesishmaydigan  atroflarini  belgilaymiz. 

(Xausdorf  aksiomasi). 

{ }

n

x

-  ketma-ketlik       

x

  va 

y

  nuqtalarga 

yaqinlashganligi uchun shunday 

1

N

, 

2

N

 sonlar mavjudki, 

1

n

N



 da 

1

n

x

U



,   

2

n

N



 da 

2

n

x

U



 bo’ladi.  Bundan  

1

2

max{

,

}

n

N N



 bo’lsa, 

1

2

n

x

U

U





  munosabatni  olamiz.  Demak 

1

2

U

U



 

.  Bu 

ziddiyatdan 

x

y



 bo’lishi kelib chiqadi.  

Teorema isbotlandi

. 

3

T

  –  aksiomasi (ajratishning  uchinchi  aksiomasi):  X  topologik 

fazoda ixtiyoriy nuqta va bu nuqta tegishli bo‘lmagan ixtiyoriy yopiq 

to‘plam o‘zaro kesishmaydigan atroflarga ega.  

0

T

–  (I  ∈  {0,1,2,3})  aksiomasini  qanoatlantiruvchi  topologik 

fazoni  

i

T

 — fazo deb ataymiz.  

1

T

    va 

3

T

      aksiomalarni  qanoatlantiruvchi  topologik  fazo 

regulyar fazo 

deyiladi.  

Ta’rif. 

Agar X topologik fazoning A va B to’plamostilari uchun 

butun  X  fazoda  aniqlangan  shunday  haqiqiy  qiymatli  uzluksiz 

funksiya  f:X→[0,1] mavjud bo’lsa va u funksiya uchun barcha x𝜖A, 

f(x)=0 va f(x)=1 barcha x𝜖𝐵 shartlarni qanoatlantirsa, u holda ular X 

da funksional ayri deyiladi. 

Shuni ta’kidlash kerakki, shunday Xausdorf, qolaversa, regulyar 

fazolar  borki,  bu  fazolarda  juft  ikki  nuqta  funksional  ayri  emas. 

Bunga  sabab  shunday  regulyar  fazolar  mavjudki,  bu  fazolarda 

aniqlangan  konstant  funksiyadan  boshqa  funksiya  mavjud 

bo’lmaydi. 

      

Ta’rif. 

Agar  fazoning  ixtiyoriy 

0

x

  nuqtasi  va  bu  nuqtani 

o’zida  saqlamaydigan  bo’sh  bo’lmagan  F  yopiq  to’plam  funksional 

ayri bo’lsa, X topologik fazo 

3 / 2

T

 fazo deyiladi. 

  Agar X topologik fazo bir vaqtda ham 

1

T

 fazo, hamda 

3 / 2

T

 fazo 

bo’lsa,  uni 

Tixonov  fazosi 

yoki 

to’kis  regulyar (butkul  regulyar) 

fazo

 deyiladi. Bu ta’rifdan ko’rinadiki, Tixonov fazosi regulyar fazo 

bo’ladi. 

Har bir metrik fazo, xuxusiy holda 

n

 fazo ham, Tixonov fazosi 

bo’ladi. Tixonov fazolarining xossalaridan biri- bu fazo ham nasliy 

xususiyatga ega ya’ni, bu fazoning ixtiyoriy to’plamostisi han yana 

Tixonov fazosi bo’ladi. 

4

T

- aksiomasi (normallik aksiomasi). 

1

T

-fazoda ixtiyoriy ikkita 

o‘zaro  kesishmaydigan  yopiq  to‘plamlar  o‘zaro  kesishmaydigan 

atroflarga ega. 

4

T

-  aksiomasi  qanoatlantiruvchi  topologik  fazo 

normal  fazo 

deyiladi.  

 

2§. Misollar 

Misol.3.1.  

Ikki  elementdan  iborat  X  =  {a,b}  to‘plamda  τ  =  {∅,{b},X} 

sistemaning topologiya bo‘lishini ko‘rsating.  

Yechimi. Topologiya aksiomalarining bajarilishini tekshiramiz:  

1) τ sistemaning berilishiga ko‘ra:    ∅∈τ;  

2) τ sistemaning berilishiga ko‘ra:   X ∈τ;  

3)  Berilgan  τ  sistemaga  tegishli  ixtiyoriy  2  to’plamning 

kesishmasi  τ oilaga tegishli :  

∅∩{b}=∅∩X =∅∈τ,   {b}∩X ={b}∈τ. 

4)    Berilgan  τ  sistemaga  tegishli  ixtiyoriy  2  to’plamning 

birlashmasi  τ oilaga tegishli :  

∅∪{b}={b}∈τ,   ∅∪X ={b}∪X = X ∈τ,    

Ko’rinib  turibdiki,  τ  oilaga  tegishli  to’plamlar  Topologik  fazo 

aksiomalarini qanoatlantiradi. 

Demak, (X, τ ) – juftlik topologik fazoni tashkil etadi. 

Misol.3.2. 

 X topologik fazoning ixtiyoriy M qism to‘plami uchun  

X \[M] = int(X \M)  

tenglikning o‘rinli ekanligini isbotlang. 

 Yechimi.  X  \[M]  to‘plamdan  ixtiyoriy  x  element  olaylik.                     

x / ∈[M]bo‘lganligidan, uning M to‘plam bilan kesishmaydigan, ya’ni      

X \ M to‘plam ichida yotadigan 

x

V

  atrofi mavjud.  

Bundan , 

x ∈ int(X \M), ya’ni X\[M]⊂int(X\M) 

munosabatning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.  

         Endi  x∈int(X\M)  bo‘lsin.  int(X\M)  ochiq  bo‘lganligidan,  uni  x 

nuqtaning atrofi sifatida olish mumkin. int(X\M)⊂X\M munosabat 

o‘rinli bo‘lganligidan, int(X \M)  M = ∅. Bundan x / ∈ [M] ekanligi 

kelib chiqadi, ya’ni x∈X\[M]. Demak, X\[M]⊃int(X\M). Shunday qilib 

berilgan tenglikning to‘g‘ri ekanligi isbotlandi.  

Misol.3.3. 

 Ixtiyoriy bir nuqtali qism to‘plami yopiq bo‘lmagan 

0

T

–-fazoga 

misol keltiring.  

Yechimi. X = Z barcha butun sonlar to‘plamini olaylik. Har bir k 

∈Z  uchun 

k

N

={m∈Z  :  m≥k}  to‘plamni  olamiz.  τ  ={∅,Z, 

k

N

,  k  ∈Z} 

to‘plamlar sistemasi topologiya hosil qiladi. Har bir m,n ∈ Z, m < n 

uchun,  U  ∈  τ  to‘plami  m  nuqtaning  atrofi  bo‘lishidan  n  ∈ 

m

N

  ⊂  U 

munosabatlar  o‘rinli  ekanligi  kelib  chiqadi.  Demak,  m  nuqtaning 

xohlagan  atrofiga  n  nuqtasi  tegishli,  ya’ni  m  ∈  [n].  Bundan  {n} 

to‘plamning, bir nuqtali xohlagan qism to‘plamning yopiq emasligi 

kelib  chiqadi.  Shu  bilan  birga,  m 

n

N



  bo‘lganligidan,  qaralayotgan 

topologik fazosi 

0

T

–fazo bo‘ladi.  

 

Misol.3.4. 

 

(X,τ) Xausdorf topologik fazoning xohlagan 

(

,

)

M

M



 qism fazosi 

Xausdorf fazo bo‘lishini isbotlang.  

Yechimi.  X  Xausdorf  fazo  bo‘lganligidan,  M  to‘plamga  tegishli 

xohlagan x,y nuqtalarning o‘zaro kesishmaydigan 

,

x

y

O O

 atroflari mavjud bo‘ladi. 

x

O

M

 va 

y

O

M

to‘plamlar x 

va  y  nuqtalarning  M  fazodagi  o‘zaro  kesishmaydigan  atroflari 

bo‘ladi, ya’ni  

(

,

)

M

M



  Xausdorf fazosi bo‘ladi. 

Misol. 3.5. 

Ixtiyoriy  regulyar  X  topologik  fazoning 

2

T

-fazo  bo‘lishini 

ko‘rsating.  

Yechimi.  x,y  ∈  X  bo‘lib, 

x

y



  bo‘lsin. 

1

T

-aksiomasiga  ko‘ra  x 

nuqtaning  y  nuqtani  o‘z  ichiga  olmaydigan 

x

O

  atrofi  mavjud. 

3

T

aksiomasiga  ko‘ra  x  nuqta  va  X  \

x

O

  yopiq  to‘plamning  o‘zaro 

kesishmaydigan atroflari mavjud. X \

x

O

 to‘plamning atrofi y nuqta 

uchun ham atrof bo‘ladi. Demak, 

2

T

- aksioma bajariladi.  

Misol .3.6.  

 Ixtiyoriy  X  metrik  fazoning  normal  topologik  fazo  bo‘lishini 

isbotlang.  

Yechimi. X metrik fazoda o‘zaro kesishmaydigan yopiq A va B to‘plamlar 

 berilgan bo‘lsin. X \ B ochiq to‘plam bo‘lib, A ⊂ X \ B bo‘lganligidan, A 

 to‘plamga tegishli ixtiyoriy x nuqtaning B to‘plam bilan kesishmaydigan  

x

O

  atrofi mavjud. Natijada, x nuqta B to‘plamdan musbat 

x



 masofada  

joylashgan bo‘ladi. Xuddi shunday, B to‘plamning ixtiyoriy  y nuqtasi A 

 to‘plamdan musbat 

y



 masofada joylashadi. A va B to‘plamlarning, mos 

ravishda, 

,

2

x

x A

U

S x



















  va 

,

2

y

x B

V

S y



















  atroflarini  aniqlab, 

ularning o‘zaro kesishmasligini ko‘rsatamiz.  

Teskarisini  faraz  qilamiz,  ya’ni  shunday  z  element  mavjud  

bo‘lib,  z ∈U∩V bo‘lsin. U holda A va B to‘plamlardan, mos ravishda, 

shunday 

0

x

 va 

0

y

 nuqtalar topilib,  

0

0

( , )

2

x

x z







      va      

0

0

(

, )

2

y

y z







 

tengsizliklari  o‘rinli  bo‘ladi.  Aniqlik  uchun 

x

y







  bo‘lsin.  U 

holda  

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(

,

)

(

, )

( ,

)

,

2

2

2

2

x

y

y

y

y

x y

x z

z y































 

 ya’ni 

0

0

0

(

,

)

y

x

S y





.    Bu  esa 

0

y



  ning  aniqlanishiga  zid. 

Demak, U∩V =∅, ya’ni X fazo normaldir. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xulosa. 

   Bizning  mana  shu kurs ishimizda topologiyaning asosiy 

obyektlari va topologik fazo ta’rifi, topologik fazoning asosiy  

tushunchalaridan bo’lmish topologik akslantirishlar  mohiyati  

yoritdik. Fazolarni solishtirish, topologik fazo bazasi va uning  

mohiyati, metrik fazota’rifi va metrik fazolarda ham topologiyaning 

  kiritilishi, topologik fazolarda ajraluvchanlik  va ularni turlari  

haqida bayon etdik. Xausdorf fazosi nima , regulyar fazo, Tixonov va  

normal fazolar nima ekanligini ko’rsatib berishga harakat qildik. 

 Imkon boricha topgan ma’lumotlarimdan foydalandim. Xulosa  

qilib aytganda, kurs ishimizda topologiya va topologik fazolarning  

asosiy tushunchalarini o’rgandik. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Foydalanilgan adabiyotlar. 

1. 

A.Ya.Narmanov. Differensial geometriya . “Universitet” 

Toshkent-2003.  

2. 

T.F.Jo’rayev. 

Topologiyaga 

kirish. 

–Toshkent 

“Tafakkur-Bo’stoni”, 2012. 

3. 

A.Ya.Narmanov, A.S.Sharipov, J.O.Aslonov. Differensial 

geometriya  va  topologiya  kursidan  masalalar  to’plami.  –

Toshkent “Universitet”, 2014. 

4. 

Погорелов  А.В.  Дифференциальная  геометрия. 

М..1974. 

5. 

 http://allmath.ru  

6. 

http://www.eknigu.com 

7. 

www.ziyonet.uz