Hilbert fazolari 1-ta’rif: Cheksiz o'lchamli to'la Evklid fazosi Hilbert fazosi deyiladi

Gilbert Fazosi. Kompakt operator tushunchasi

Hilbert fazolari

1-ta’rif: Cheksiz o'lchamli to'la Evklid fazosi Hilbert fazosi deyiladi.

Ixtiyoriy tabiatli elementlarning H to'plami Hilbert fazosi bo'lsa, u quyidagi uchta shartni qanoatlantiradi:

1) H – Evklid fazosi, ya’ni skalyar ko'paytma kiritilgan chiziqli fazo;

2) metrika ma’nosida H – to'la fazo;

3) H fazo – cheksiz o'lchamli, ya’ni unda cheksiz elementl chiziqli erkli sistema mavjud.

• 
  

1-misol. Evklid fazosi to'la emas, shuning uchun bu fazo Hilbert fazosi bo'la olmaydi.

1-misol. Evklid fazosi to'la emas, shuning uchun bu fazo Hilbert fazosi bo'la olmaydi.

2-misol. va lar cheksiz o'lchamli to'la separabel Evklid fazolaridir.

2-ta’rif: Bizga va chiziqli fazolar berilgan bo'lsin. Agar bu fazolar o'rtasida o'zaro bir qiymatli moslik o'rnatish mumkin bo'lib,

va ,

ekanligidan

va ,

ekanligi kelib chiqsa, u holda va chiziqli fazolar o'zaro izomorf fazolar deyiladi.

• 
  

1-teorema. Ixtiyoriy ikkita separabel Hilbert fazosi o'zaro izomorfdir.

1-teorema. Ixtiyoriy ikkita separabel Hilbert fazosi o'zaro izomorfdir.

H Hilbert fazosining qism fazosi deganda yopiq qism fazoni tushunamiz.

3-misol. – ixtiyoriy element bo'lsin. h ga ortogonal bo'lgan barcha elementlar to'plami qism fazo tashkil qiladi.

4-misol. fazoda shartni qanoatlantiruvchi elementlar to'plami qism fazo tashkil qiladi.

5-misol. fazoning

to'plami uning qism fazosi bo'ladi.

• 
  

Hilbert fazosining har qanday qism fazosi yo chekli o'lchamli Evklid fazosi bo'ladi, yo uning o'zi Hilbert fazosini tashkil qiladi.

Hilbert fazosining har qanday qism fazosi yo chekli o'lchamli Evklid fazosi bo'ladi, yo uning o'zi Hilbert fazosini tashkil qiladi.

6-misol. separabel Hilbert fazosida toq funksiyalardan iborat to'plam qism fazo tashkil qiladi.