Giperbolik tipdagi tenglamalarni to‘r metodi bilan yechish

uchburchak (10) ayirmali tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi deyiladi.
Yuqoridagi chizmada ZSA D < Z S C D , tgZSC D = a = —> 1

h
bo‘lgan hol keltirilgan. Bunday hol, ya’ni a = —> 1 quyidagi sababga h
ko‘ra yaroqsizdir. Agar boshlang‘ich shartlami AC va DB kesmalarda
0‘zgartirsak, (8), (9) differensial masalaning yechimi G sohada, jumladan, S nuqtada o ‘zgarishi kerak. Ammo (10), (7) ayirmali masalaning yechimi esa o‘zgarmay qoladi. Demak, a >1 bo'lganida (10), (7) ayirmali masalaning yechimi h -» 0, t -> Oda (8), (9) Koshi
masalasi yechimiga yaqinlashmaydi. Shuning uchun to‘r sohaning qadamlari nisbati shrmday bo‘lishi kerakki, a < 1 bo‘lsin, ya’ni AASB ACSD ning ichida bo‘lishi kerak. Shuni eslatamizki, umumiy holda differensial tenglamaning aniqlangan uchburchagi egri cbiziqli uchburchakdan iborat bo‘ladi, ammo bu uchburchak ayirmali tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi ichida yotishi lozim.

Endi chegaraviy masalani to‘r usuli bilan yechish masalasini qaraymiz. Faraz qilaylik, (1) tenglamaning (2) boshlang‘ich shartlami va (5) chegaraviy shartlami qanoatlantimvchi yechimini topish masalasi berilgan bo‘lsin. Berilgan G = | 0 < y < 7 ,a < x< J3} sohani qadamlari h va / bo‘lgan to‘r bilan qoplaymiz. To‘ming ichki tugun-larida tenglamaning approksimatsiyasini, chegaraviy tugunlarida esa

(2) va (5) shartlaming approksimatsiyasini qilamiz. Tenglama o(h2 + 12) xatohk bilan (2) boshlang'ich shart o(h) chegaraviy shart-lar o(l) xatolik bilan approksimatsiya qilingan bo‘ladi. (1) ning approksimatsiyasi uchun (x_i , y_i ),(x_{i+1 ,} y_i) , (x_i ,y_i+1) tugunlar jalb etilgan. Natijada quyidagi ayirmali tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi:



(11)

(12)

(13)
Bu (11) (12) (13) to’r masala (1) (2) (5) chegaraviy masalani tenglama bo’yicha o(l²+h²) boshlang’ich shartlarni o(h) chegaraviy shartlarini esa o(l) xatolik bilan approksimatsiya qiladi. To’r masalani qatlamlar bo’yicha yechish mumkin. Haqiqatdan ham j=0 va j=1 bo’lganda (12) bilan u_i0 u_i1 i=0,1,…,N lar topiladi. So’ng, l ni hisbiga bo’lishligini ta’minlab, (11) formuladan foydalanib u₁₂ u₂₂,…..u_{N-1 2} larning qiymatini aniqlaymiz, (13) dan esa u₀₂ u_N2 aniqlanadi. Shunday qilib , j=2 da, yani ikkinchi qatlamda u_ij larning qiymatlari barcha tugunlarda aniqlanadi. Keyingi qatlamlaridagi tugunlarda ham u_ij ning qiymatlari shu kabi aniqlanadi.